【導讀】求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，解：依題意，得2230axaxa???∵點H、B關于過A點的直線l：333yx??過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，∴二次函數(shù)解析式為2333322yxx????。過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，過點K作KD⊥AB，∵點H、B關于直線AK對稱，且QM=MK，QE=KE=KD=32，AE⊥QK。∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90°。由勾股定理得QB=8?！郒N+NM+MK的最小值為8。法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理。標代入直線l即可判斷A是否在直線上?！逴E和OP是⊙Q的切線，而l∥x軸，∴QE⊥MN?！嗨倪呅蜵NEM為平行四邊形，即QN∥ME?！郋N=MQ=EQ=QN，即△QEN為等邊三角形。∵DM為直徑，∴∠DME=90°。而DM垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。網21世紀教育網∴p=1，即點A坐標為。三角形，則∠NQE=60°，∠QNF=30°；在四邊形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，可求出∠TQE=120°，于是有∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，即T、Q、N三點共線，得到

　　

【正文】 過點 M作 MF⊥OA 于 F， ∵△APM≌△AFM （ ASA）， ∴AF ＝ AP＝ 23 ， MF＝ MP＝ t324? 。 ∴OF ＝ OA－ AF＝ 3－ 2323? 。 ∴M （ 23 ， 43 ）。 21 世紀教育網 ② 當 AD＝ AM＝ 3時， △AMP∽△AED ， ∴ AP AMAD AE? 。 ∴AP 33352?。 ∴ 65AP= 5 。 ∴ 6 5 6 5t155? ? ? （秒）。 28 ∴ 當 65t 5? 秒時， A、 D、 M三點構成等腰三角形。 過點 M作 MF⊥OA 于 F， ∵△AMF≌△AMP （ ASA）， ∴AF ＝ AP＝ 556 ， FM＝ PM＝ t 3 525? 。 ∴OF ＝ OA－ AF＝ 3－ 556 。 ∴M （ 5563? ， 553 ）。 綜上所述，當 3t 2? 時， A、 D、 M三點構成等腰三角形， M（ 23 ， 43 ）；當 65t 5? 秒時， A、D、 M三點構成等腰三角形， M（ 5563? ， 553 ）。 【考點】翻折對稱的性質，全等三 角形的性質，勾股定理，矩形的判定和性質，平行的性質，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的判定。 【分析】（ 1）由折疊可知 △AOE≌△ADE ，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，以及對應角相等得到 OE=ED， ∠ADE=∠AOE=90176。 ， AD=AO=3，根據(jù)勾股定理求出 AB 的長，設出 ED=OE=x，在直角三角形 BED中，根據(jù)勾股定理列出關于 x的方程，求出方程的解得到 x的值，從而寫出點E的坐標，再在直角三角形 AOE中，根據(jù)勾股定理求出 AE的長即可。 （ 2）根據(jù)兩組對邊互相平行得到四邊形 MNDP 為平行四邊形 ，又 ∠ADE 為直角，所以 MNDP為矩形，根據(jù)題意表示出 AP的長，從而得到 PD的長，又由平行得到兩對同位角相等，從而得到 △AMP∽△AED ，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出 PM的長，由矩形的面積公式長乘以寬和表示出的長 DP與寬 PM，表示出矩形的面積，得到面積與 t 成二次函數(shù)關系，利用二次函數(shù)求最值的方法求出面積 S 的最大值及取得最大值時 t的值即可。 （ 3）根據(jù)題意分 MD=MA 和 AD=AM 兩種情況滿足 △ADM 為等腰三角形， ① 當 MD=MA 時， P 為AD中點，由 AD求出 AP，進而根據(jù)速度求出此時 t的值，此時三角形 AMD為等腰三角形，過M作 MF垂直于 x軸，根據(jù) “ASA” 得到 △APM≌△AFM ，求出 MF=MP，即為 M的縱坐標，求出FA，從而求出 OF的長，即為 M的橫坐標； ② 當 AD=AM=3 時，由平行的兩對同位角相等，得到 △AMP∽△AED ，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得到比例式，求出 AP 的長，由速度求出此時 t 的值，此時三角形 AMD 為等腰三角形，過 M 作 MF 垂直于 x 軸，根據(jù) “ASA” 得到△APM≌△AFM ，同理可得 M的坐標。 29 26.（貴州遵 義 14 分）已知拋物 線)0(32 ???? abxaxy 經過 A(3， 0), B(4， 1)兩點，且與 y軸交于點 C． （ 1）求拋物線 )0(32 ???? abxaxy 的函數(shù)關系式及點 C的坐標； （ 2）如圖（ 1） ,連接 AB，在題（ 1）中的 拋物線上是否存在點 P，使 △PAB 是以 AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點 P的坐 標；若不存在，請說明理由； （ 3）如圖（ 2） ,連接 AC， E為線段 AC 上任意一點（不與 A、 C重合）經過 A、 E、 O三點 的圓交直線 AB于點 F，當 △OEF 的面 積取得最小值時，求點 E的坐標． 【答案】解：（ 1）將 A(3， 0)， B(4， 1)代人 )0(32 ???? abxaxy 得 ??? ??? ??? 13416 0339 ba ba， ∴????????2521ba ∴ 拋物線的函數(shù)關系式為 32521 2 ??? xxy 。 ∵ 令 0x? ，得 3y? 。 ∴ 點 C的坐標為 (0， 3) 。 （ 2）假設存在，分兩種情況，如圖， ① 連接 AC， ∵OA=OC=3 ， ∴∠OAC=∠OCA=45O 。 過 B作 BD⊥ x 軸于 D，則有 BD=1， AD=OD－ OA=4－ 3=1， ∴BD=AD ， ∴∠DAB=∠DBA=45O 。 ∴∠BAC=180O － 45O－ 45O=90O 。 ∴△ABC 是直角三角形。 ∴C(0 ， 3)符合條件。 ∴P1(0 ， 3)為所求。 30 ② 當 ∠ABP=90O 時，過 B作 BP∥AC ， BP 交拋物線于點 P。 ∵A(3 ， 0)， C(0， 3)， ∴ 直線 AC的函數(shù)關系式為 3??? xy 。 將直線 AC向上平移 2個單位與直線 BP重合。 則直線 BP的函數(shù)關系式為 5??? xy 由 ????? ??? ??? 32521 52 xxy xy,得 ??? ????? ??? 1461 yxyx 或 又 B(4， 1)， ∴P2( － 1， 6)。 綜上所述 ,存在兩點 P1(0， 3)， P2(－ 1， 6)。 (3) ∵∠OAE=∠OAF=45O ，而 ∠OEF=∠OAF=45O ， ∠OFE=∠OAE=45O, ∴∠OEF=∠OFE=45O 。 ∴OE=OF, ∠EOF=90O 。 ∵ 點 E在線段 AC上， ∴ 設 E )3,( ??xx ∴OE 222 )3( ???? xx = 962 2 ?? xx ∴ 2O E F 11S O E O F = O E22? ?? )962(21 2 ??? xx = 2932 ?? xx = 49)23( 2 ??x ∴ 當 23?x 時 , OEFS? 取最小值 , 此時 233233 ?????? x , ∴ 點 E的坐標為 )23,23( 。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法， 曲線上點的坐標與方程的關系，直角三角形的判定，二次函數(shù)的最值。 【分析】（ 1）根據(jù) A（ 3， 0）， B（ 4， 1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。 （ 2）從當 △PAB 是以 AB為直角邊的直角三角形，且 ∠PAB=90176。 與當 △PAB 是以 AB為直角邊的直角三角形，且 ∠PBA=90176。 ，分別求出符合要求的答案。 31 （ 3）設 E )3,( ??xx ，根據(jù) △FEO 面積的表達式，應用二次函數(shù)的最值即可。 27.（貴州畢節(jié) 15分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 )0(2 ???? acbxaxy 的圖象 經過 M(1， 0)和 N(3， 0)兩點，且與 y 軸交于 D(0， 3)，直線 l 是拋物線的對稱軸。 (1) 求該拋物線的解析式。 (3 分 ) (2) 若過點 A(－ 1， 0)的直線 AB與拋物線的對稱軸和 x 軸 圍成的三角形面積為 6，求此直線的解析式。 (4分 ) (3) 點 P在拋物線的對稱軸上， ⊙P 與直線 AB和 x 軸都相切，求點 P的坐標。 (8分 ) 【答案】來源 :解：（ 1） ∵ 拋物線 )0(2 ???? acbxaxy 的圖象經過 M（ 1， 0）和 N（ 3， 0）兩點，且與 y 軸交于 D（ 0， 3）， ∴ 可設二次函數(shù)解析式為： ? ?? ?13y a x x? ? ?， 將 D（ 0， 3），代入 ? ?? ?13y a x x? ? ?，得， ? ?? ?3 0 1 0 3a? ? ?，解得 1a? 。 ∴ 拋物線的解析式為： ? ?? ? 21 3 4 3y x x x x? ? ? ? ? ?。 （ 2） ∵ 過點 A（﹣ 1， 0）的直線 AB 與拋物線的 對稱軸和 x 軸圍成的三角形面積為 6， ∴ 12 AC179。BC=6 。 ∵ 拋物線 2 43y x x? ? ? 的圖象經過 M（ 1， 0）和 N（ 3， 0）兩點， ∴ 二次函數(shù)對稱軸為 x =2。 ∴AC=3 ， BC=4。 ∴ B點坐標為：（ 2， 4）或（ 2，－ 4）。 當 B點坐標為（ 2， 4）時， 設直線的解析式為 y kx b??，依題意，得 240kbkb????? ? ??，解得4343kb????????? 。 32 ∴ 直線的解析式為 4433yx??。 當 B點坐標為（ 2，－ 4）時，同 理可得直線的解析式為 4433yx?? ? 。 綜上所述，直線 AB的解析式為 4433yx??或 4433yx?? ? 。 （ 3）設 ⊙P 的半徑為 r 。 ① 當直線 AB的解析式為 4433yx??，點 P在 x 軸上方時， 作 PE⊥AB ，垂足為點 E。 ∵ 當點 P在拋物線的對稱軸上， ⊙P 與直線 AB和 x 軸都相切， ∴PE=PC= r 。 ∵AC=3 ， BC=4， ∴AB=5 ， BP=4－ r 。 ∵∠EBP=∠CBA ， ∠BEP=∠BCA=900 ， ∴△BEP∽△BCA 。 ∴ PE BPCA BA? ，即 435rr?? 。解得 32r? 。 ∴P 點坐標為：（ 2， 32 ）。 ② 當直線 AB的解析式為 4433yx??，點 P在 x 軸下方時， 作 PF⊥AB ，垂足為點 F。 ∵ 當點 P在拋物線的對稱軸上， ⊙P 與直線 AB和 x 軸都相切， ∴PF=PC= r 。 ∵AC=3 ， BC=4， ∴AB=5 ， BP=4＋ r 。 ∵∠EBP=∠CBA ， ∠BEP=∠BCA=900 ， ∴△BEP∽△BCA 。 ∴ PE BPCA BA? ，即 435rr?? 。解得 6r? 。 ∴P 點坐標為：（ 2，－ 6）。 ③ 當直線 AB的解析式為 4433yx?? ? ，點 P在 x 軸上方時，同 ② 可得， P點坐標為：（ 2， 6）。 33 ④ 當直線 AB的解析式為 4433yx?? ? ，點 P在 x 軸下方時，同 ① 可得， P點坐標為：（ 2， 32? ）。 綜上所述，當直線 AB的解析式為 4433yx??時，點 P的坐標為（ 2， 32 ）或（ 2，－ 6）；當直線 AB的解析式為 4433yx?? ?? 時，點 P的坐標為（ 2， 32? ）或（ 2， 6）。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，直線和圓相切的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質。 【分析】（ 1）根據(jù)圖象經過 M（ 1， 0）和 N（ 3， 0）兩點，且與 y軸交于 D（ 0， 3），可利用交點式求出二 次函數(shù)解析式。 （ 2）根據(jù)直線 AB 與拋物線的對稱軸和 x 軸圍成的三角形面積為 6，得出 AC， BC 的長，得出 B點的坐標，即可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式。注意考慮點 B在 x 上方和下方兩種情況。 （ 3）根據(jù)（ 2）的結果，分直線 AB 的解析式為 4433yx??和 4433yx?? ? 時，點 P 在 x 軸上、下方四種情況，利用相似三角形對應邊成比例，即可求出圓的半徑，得出 P點的坐標。 28.（貴州銅仁 14分）如圖，在平面直角坐標系 xOy中 ,一拋物線的頂點坐標是（ 0， 1），且過點（－ 2,2），平行四邊形 OABC的頂點 A、B在此拋物線上， AB與 y軸相交于點 C的坐標是（－ 4， 0），點 Q（ x， y）是拋物線上任意一點 . 求此拋物線的解析式及點 M的坐標； 在 x軸上有一點 P(t， 0），若 PQ∥CM ，試用 x的代數(shù)式表示 t； 在拋物線上是否存在點 Q，使得 △BAQ 的面積是 △BMC 的面積的 2 倍？若存在，求 此時點 Q的 坐標 【答案】解：（ 1） ∵ 拋物線的頂點坐標是（ 0， 1），且過點（－ 2， 2）， ∴ 設其解析式為 12 ??axy ， 則有， 1)2(2 2 ??? a ，得 41?a 。 34 ∴ 此拋物線的解析式為： 141 2 ?? xy 。 ∵ 四邊形 OABC是平形四邊形， ∴AB=OC=4 ， AB∥OC 。 又 ∵y 軸是拋物線的對稱軸， ∴ 點 A與 B是拋物線上關于 y軸的對稱點。 則 MA=MB=2，即點 A的橫坐標是 2則其縱坐標 1241 2 ???y =2。 ∴ 點 A（ 2， 2），點 M（ 0， 2）。 （ 2）作 QH⊥x 軸，交 x軸于點 H， 則 ∠QHP=∠MOP=900 。 ∵PQ∥CM ， ∴∠QHP=∠MCO 。 ∴ΔPQH∽ΔCMO 。 ∴