【正文】 ∵PQ∥CM ， ∴∠QHP=∠MCO 。 又 ∵y 軸是拋物線的對稱軸， ∴ 點 A與 B是拋物線上關(guān)于 y軸的對稱點。 （ 3）根據(jù)（ 2）的結(jié)果，分直線 AB 的解析式為 4433yx??和 4433yx?? ? 時，點 P 在 x 軸上、下方四種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求出圓的半徑，得出 P點的坐標(biāo)。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線和圓相切的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。 ∴P 點坐標(biāo)為：（ 2，－ 6）。 ∵AC=3 ， BC=4， ∴AB=5 ， BP=4＋ r 。解得 32r? 。 ∵ 當(dāng)點 P在拋物線的對稱軸上， ⊙P 與直線 AB和 x 軸都相切， ∴PE=PC= r 。 當(dāng) B點坐標(biāo)為（ 2，－ 4）時，同 理可得直線的解析式為 4433yx?? ? 。 ∴AC=3 ， BC=4。 ∴ 拋物線的解析式為： ? ?? ? 21 3 4 3y x x x x? ? ? ? ? ?。 (1) 求該拋物線的解析式。 與當(dāng) △PAB 是以 AB為直角邊的直角三角形，且 ∠PBA=90176。 ∵ 點 E在線段 AC上， ∴ 設(shè) E )3,( ??xx ∴OE 222 )3( ???? xx = 962 2 ?? xx ∴ 2O E F 11S O E O F = O E22? ?? )962(21 2 ??? xx = 2932 ?? xx = 49)23( 2 ??x ∴ 當(dāng) 23?x 時 , OEFS? 取最小值 , 此時 233233 ?????? x , ∴ 點 E的坐標(biāo)為 )23,23( 。 則直線 BP的函數(shù)關(guān)系式為 5??? xy 由 ????? ??? ??? 32521 52 xxy xy,得 ??? ????? ??? 1461 yxyx 或 又 B(4， 1)， ∴P2( － 1， 6)。 ∴P1(0 ， 3)為所求。 過 B作 BD⊥ x 軸于 D，則有 BD=1， AD=OD－ OA=4－ 3=1， ∴BD=AD ， ∴∠DAB=∠DBA=45O 。 29 26.（貴州遵 義 14 分）已知拋物 線)0(32 ???? abxaxy 經(jīng)過 A(3， 0), B(4， 1)兩點，且與 y軸交于點 C． （ 1）求拋物線 )0(32 ???? abxaxy 的函數(shù)關(guān)系式及點 C的坐標(biāo)； （ 2）如圖（ 1） ,連接 AB，在題（ 1）中的 拋物線上是否存在點 P，使 △PAB 是以 AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點 P的坐 標(biāo)；若不存在，請說明理由； （ 3）如圖（ 2） ,連接 AC， E為線段 AC 上任意一點（不與 A、 C重合）經(jīng)過 A、 E、 O三點 的圓交直線 AB于點 F，當(dāng) △OEF 的面 積取得最小值時，求點 E的坐標(biāo)． 【答案】解：（ 1）將 A(3， 0)， B(4， 1)代人 )0(32 ???? abxaxy 得 ??? ??? ??? 13416 0339 ba ba， ∴????????2521ba ∴ 拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 32521 2 ??? xxy 。 【分析】（ 1）由折疊可知 △AOE≌△ADE ，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，以及對應(yīng)角相等得到 OE=ED， ∠ADE=∠AOE=90176。 ∴OF ＝ OA－ AF＝ 3－ 556 。 ∴ 65AP= 5 。 ∴OF ＝ OA－ AF＝ 3－ 2323? 。 又 ∵ 2P M N D 1 3 1 3 9S t t= t2 2 2 2 8??? ? ? ? ? ?????矩 形 ， ∴ 當(dāng) 3t 2? 時， 9S 8?最 大 。1 ＝ t， ∴PD ＝ 3－ t[。 ∴E （ 0， 23 ）。 （ 1）在圖 10所示的直角坐標(biāo)系中，求 E點的坐標(biāo)及 AE 的長。=2．連接 C39。 【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理和逆定理，對稱的性質(zhì)。 設(shè)直線 C′D 的解析式為 y = kx + n , 26 則 ?????????825232nkn，解得 n = 2, 1241??k 。 ∴OA = 1 ， OB = 4， AB = 5。 又 y=21 x2－ 23 x－ 2 =21 ( x2 － 3x－ 4 ) =21 (x－ 23 )2－ 825 ,∴ 頂點 D的坐標(biāo)為 (23 ， －825 )。 24.（貴州安順 12分）如圖，拋物線 y=12 x2+bx﹣ 2 與 x 軸交于 A， B 兩點，與 y軸交于 C點，且 A（﹣ 1， 0）． （ 1）求拋物線的解析式及頂點 D的坐標(biāo)； （ 2）判斷 △ABC 的形狀，證明你的結(jié)論； （ 3）點 M（ m， 0）是 x軸上的一個動點，當(dāng) MC+MD的值最小時，求 m的值． 【答案】解：（ 1） ∵ 點 A（ 1， 0）在拋物線 y=21 x2 ＋ bx－ 2上， ∴ 21 179。 （ 2）用含 x 的代數(shù)式（ 12﹣ 4x） 247。 答：當(dāng) x=a2n 時，矩形架 ABCD的面積 S最大，最大面積是2a12n平方米。 答：當(dāng) x=32 時，矩形架 ABCD的面積 S最大，最大面積是 3平方米。3=4 ﹣ x， ∴ 列方程： x（ 4﹣ x） =3，即 x2﹣ 4x+3=0， ∴x1=1 ， x2=3， 答：當(dāng) x=1或 3米時，矩形框架 ABCD的面積為 3平方米。 ③ 若 OF＝ BF，即 22 5 3 2 5x x 1 6 x9 3 3? ? ?，解得 x＝ 32? ，得 F3??? ???－ 32， 2 。 由（ 1）可得 AC為 4y= x+43 ，設(shè) F（ x， 4x+43 ）。 【分析】 (1)由已知直線 y＝ m3x＋ m交 x軸負半軸于點 A、交 y軸正半軸于點 B，根據(jù)點在直線上，點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，求出點 B的坐標(biāo)。 ∴ EGBG＝ EDBF。 ∴BG ＝ 54(t－ 5)。 由題意， FG∥AC ， ∴ BFBA＝ BGBC。 ∴ EGBG＝ EDBF。 ∴EG ＝ 54(5－ t)－ (4－ )＝ 94－ 920t。 ∵B(0,4) ， C??? ???0，－ 94 ， ∴BC ＝ 4＋ 94＝ 254 。 (2)F1??? ???125， 365 、 F2??? ???－ 125 ， 45 、 F3??? ???－ 32， 2 。 ∴CO ＝ AO2BO＝ 324 ＝ 94。 ∵m ＞ 0， ∴m ＝ 4。故把 PH和 GM用 x的表達式來表示即可求出 P點的坐標(biāo)。因此由銳角三角函數(shù)可求出 OC和 CD 而得到 D點坐標(biāo)。 【考點】二次函數(shù)綜合題，翻折對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，拋物線的頂點坐標(biāo)，等腰梯形的判定和性質(zhì)。 則 H??? ???x， 72 ， G??? ???x， 32 。 20 ∵E 為拋物線 y＝－ 23x2＋ 2 33 x＋ 3的頂點， ∴E ??? ???32 ， 72 。 ＝ 3179。 ＝ 3179。cos30176。 ，將 Rt△ABO 沿 OB翻折后，點 A落在第一象限內(nèi)的點 D處． (1)求 D點坐標(biāo)； (2)若拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ 3(a≠0) 經(jīng)過 B、 D 兩點，求此拋 物線的表達式； (3)若拋物線的頂點為 E，它的對稱軸與 OB交于點 F，點 P為射線 OB上一動點，過點 P作 y軸的平行線，交拋物線于點 P，使得以 E、 F、 M、P為頂點的四邊形為等腰梯形？若存在，請求出所有符合條件的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考公式：拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的頂點坐標(biāo)是 ??? ???－ b2a， 4ac－ b24a . 【答案】解： (1) 如圖，過點 D作 DC⊥x 軸于點 C， 由翻折可知： DO＝ AO＝ 3， ∠AOB ＝ ∠BOD ＝ 30176。 （ 3）若四邊形 OPMC是等腰梯形，只需 OD＝ EC。 ∴ 當(dāng) t＝ 6時，四邊形 OPMC是等腰梯形。如圖，連接 OP。 ∵PB ＝ t， PD＝ ME， ∴EM ＝ 8－ t。 ∴OE ＝ OD＋ DE＝ 1＋ 12t。 根據(jù)題意可得 BP＝ t， ∴ t8＝ PM4 ，即 PM＝ 12t。 ∴∠BPM ＝ ∠BDC ＝ 90176。 18 設(shè)點 F(x，－ x＋ 3)，點 E(x， x2－ 4x＋ 3)， ∴EF ＝－ x2＋ 3x。 ∴ 當(dāng) BQBP＝ BABC時， △ABC∽△QBP 。 ∵∠CBA ＝ ∠ABP ＝ 45176。 (2)∵y ＝ x2－ 4x＋ 3＝ (x－ 2) 2－ 1， ∴ 拋物線的對 稱軸為 x＝ 2，頂點坐標(biāo)為 P(2，－ 1)。 （ 2）由軸對稱和平行的性質(zhì)，得到 DF∥EH 即可證得四邊形 DHEF 為平行四邊形。 【考點】一次函數(shù)綜合題，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，軸對稱的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，動點問題，二次函數(shù)的最值。 ∴S ＝ ? ?22 622121 ?? tt ＝ 181223 2 ??? tt ＝ ? ? 6423 2 ??? t 。 ⑶ 分兩種情況討論： ① 當(dāng) 0＜ t ≤3 時，四邊形 DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是 △DFG ， ∴S ＝ 221t 。 又 ∵OE ＝ OF＝ 6－ t ， ∴EF ＝ ? ?t?62 。 ∴ 四邊形 DHEF為平行四邊形。135176。 ∴∠DFE ＝ ∠AFE ＝ 135176。 ， ∴∠BAO ＝ 45176。 在拋物線對稱軸上取點 Q2，使 B Q2=12 ，過 Q2作 y軸的垂線交拋物線于 P3， P4，此時得到滿足條件的點 P3（－ 12 ， 12 ）， P4（ 32 ， 12 ）。 x y 1 Oy 2 3 4 5 － 1 － 2 － 3 － 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （ 2）根據(jù)題意得到 b2=ac，然后結(jié)合根的判別式即可求得其根的判別式，根據(jù)判別式得到拋物線與 x軸的交點情況即可。 ② 存在。 （ 2）依題意得 b2=ac ∴△=b2 － 4ac=b2－ 4b2=－ 3b2。 【分析】（ 1）首先分別連接 OE、 0F，由四邊形 ABCD 是菱形，即可得 AC⊥BD ， BD 平分∠ADC ． AO=DC=BC，又由 E、 F分別為 DC、 CB中點，即可證得 0E=OF=OA，則可得點 O即為 △AEF的外心。 ∴ CN CGDN DM? ，即 y 1 1 x yx??? 。 如圖 3．設(shè) MN交 BC于點 G， 設(shè) DM=x， DN=y（ x≠0 ． y≠O ），則 CN=y－ 1。 ∴PI=PJ 。 ， ∵ 點 P是等邊 △AEF 的外心， ∴∠EPA=120176。 。 ∴0E=OF=OA 。60176。 （ 1）（ 4分）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖 1，若點 E、 F分別是邊 DC、 CB的中點．求證：菱形 ABCD對角線 AC、 BD交點 O即為等邊 △AEF 的外心； （ 2）若點 E、 F始終分別在邊 DC、 CB上移動．記等邊 △AEF 的外心為點 P． ① （ 4分）猜想驗證：如圖 2．猜想 △AEF 的外心 P落在哪一直線上，并加以證明； ② （ 6分）拓展運用：如圖 3，當(dāng) △AEF 面積最小時，過點 P任作一直線分別交邊 DA于點 M，交邊 DC的延長線于點 N，試判斷 11DM DN? 是否為定值．若是．請求出該定值；若不是．請說明 理由。 ，然后根據(jù) GE=2CE列出方程即可得出 x的值。 綜上所述， y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=? ?? ? ? ?223 x 0 x 2 323 x 3 3 9 3 x 2 3? ?????? ? ???＜＞； 當(dāng) x=33時， y最大值 =93。 ∴NG= 3x 6 3 3x 63 ??－ 。當(dāng) x= 2 3 時， y達到最大值，為 63。 。 。 。 。 ， ∴ 四邊形 AMCD是矩形。 ， AB=6 ∴BM=AB?cos∠B=6179。 ， ∠B=60176。 【分析】（ 1）根據(jù)題意得頂點 A的坐標(biāo)為（ 2， a），然后設(shè) P（ 1， n）。 ∵OB=2 ， ∴OE=2 ﹣ m。 又 ∵C 點不與端點 A、 B重合， ∴m≠n 。即 P點的坐標(biāo)為（ 1， 1）。由（ 1）， 根據(jù)三角形中位線定理， 8 O1O2＝ 12 PC＝ 5。 （ 2） tan∠PEF 的值不變．過 F 作 FG⊥AD ，垂足為 G，同（ 1）的方法證明 △APB∽△DCP ，得相似比