20xx年高考數(shù)學北京理科-在線瀏覽
2024-10-24 10:55本頁面
【正文】 ???? ???， ∴ 兩條直角邊的長分別為 3，4，直角三角形中較小的銳角為 ? ， cosθ=54 ， cos2θ=2cos2θ－ 1= 725 。 三、解答題（本大題共 6 小題，共 80分） 15．（共 13 分） 解：（ I） 1 2a? ， 2 2ac?? ， 3 23ac?? ， 因為 1a ， 2a ， 3a 成等比數(shù)列， 所以 2(2 ) 2(2 3 )cc? ? ?， 解得 0c? 或 2c? ． 當 0c? 時， 1 2 3a a a??，不符合題意舍去，故 2c? ． （ II）當 2n≥ 時，由于 21a a c??， 322a a c??， 1 ( 1)nna a n c?? ? ?， 所以1 ( 1 )[1 2 ( 1 ) ] 2n nna a n c c?? ? ? ? ? ? ?． 又 1 2a? ， 2c? ，故 22 ( 1 ) 2 ( 2 3 )na n n n n n? ? ? ? ? ? ? ， ，． 當 1n? 時，上式也成立， 所以 2 2 ( 1 2 )na n n n? ? ? ? ， ，． 16．（共 14 分） 解法一： （ I）由題意， CO AO? ， BO AO? ， BOC?? 是二面角 B AO C??是直二面角， 又 二面角 B AO C??是直二面角， CO BO??，又 AO BO O? ， CO??平面 AOB ， 又 CO? 平面 COD ． ?平面 COD? 平面 AOB ． （ II）作 DE OB? ，垂足為 E ，連結(jié) CE （如圖），則 DE AO∥ ， CDE?? 是異面直線 AO 與 CD所成的角． 在 Rt COE△ 中， 2CO BO??， 1 12OE BO??， 22 5C E C O O E? ? ? ?． O C A D B E 第 8 頁 共 11 頁 又 1 32DE AO??． ?在 Rt CDE△ 中， 5 1 5t a n 33CEC D E DE? ? ?． ?異面直線 AO 與 CD所成角的大小為 15arctan 3 ． （ III）由（ I）知， CO? 平面 AOB ， CDO?? 是 CD與平面 AOB 所成的角，且 2ta n OCC D O O D O D??． 當 OD 最小時， CDO? 最大， 這時， OD AB? ，垂足為 D ， 3OA OBOD AB??， 23tan 3CDO ? ， CD? 與平面 AOB 所成角的最大值為 23arctan 3 ． 解法二： （ I）同解法一． （ II）建立空間直角坐標系 O xyz? ，如圖，則 (000)O ， ， ， (002 3)A ， ， ， (200)C ， ， ，(01 3)D ， ， ， (0 0 2 3)OA??， ， ， ( 21 3)CD ??， ， ， c o s O A C DO A C D O A C D? ? ??， 6642 3 2 2??． ?異面直線 AO 與 CD所成角的大小為 6arccos 4 ． （ III）同解法一 17．（共 14 分） 解：（ I）因為 AB 邊所在直線的方程為 3 6 0xy? ? ? ，且 AD 與 AB 垂直，所以直線 AD 的斜率為 3? ． 又因為點 ( 11)T?， 在直線 AD 上， 所以 AD 邊所在直線的方程為 1 3( 1)yx? ?? ? ． O C A D B x y z 第 9 頁 共 11 頁 3 2 0xy? ? ? ． （ II）由 3 6 03 2 = 0xyxy? ? ??? ??? ，解得點 A 的坐標為 (0 2)?， ， 因為矩形 ABCD 兩條對角線的交點為 (20)M， ． 所以 M 為矩形 ABCD 外接圓的圓心． 又 22( 2 0 ) (0 2 ) 2 2AM ? ? ? ? ?． 從而矩形 ABCD 外接圓的方程為 22( 2) 8xy? ? ?． （ III）因為動圓 P 過點 N ，所以 PN 是該圓的半徑，又因為動圓 P 與圓 M 外切， 所以 22PM PN??， 即 22PM PN??． 故點 P 的軌跡是以 MN， 為焦點，實軸長為 22的雙曲線的左支． 因為實半軸長 2a? ，半焦距 2c? ． 所以虛半軸長 22 2b c a? ? ?． 從而動圓 P 的圓心的軌跡方程為 22 1( 2 )22xy x? ? ?
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