【正文】 c o t .x x x? ??221( c ot ) c s c .si nxx x? ? ? ? ?同理可得 001( ) . ( 6 )()fx y?? ? ?證 00,x x x y y y? ? ? ?設(shè) 則ΔΔ00( ) ( ) ,x y y y????＋ΔΔ 00( ) ( ) .y f x x f x? ? ?ΔΔ 定理 設(shè) 為 的反函數(shù)， 在 ()y f x? ()xy?? ? 由 假設(shè) , 在點 1f ? ?? 0x 的某鄰域內(nèi)連續(xù) ,且嚴(yán)格 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f 00()xy?? 則 在點 可導(dǎo) , 且 0y 0( ) 0 ,y? ? ? 點 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào) , 且 0 0 。xx和( ii ) a r c t a n a r c c o t .xx和解 ( i ) a r c s in , ( 1 , 1 ) s iny x x x y? ? ? ?是在21 1 1( ar c si n ) , ( 1 , 1 ) .( si n ) c os 1xx yy x? ? ? ? ? ??? 21, ( ar c c os ) , ( 1 , 1 ) .1xxx? ? ? ? ??同理上的反函數(shù)，故 ()22?π π，yyyx 22 t a n11s e c1)( t a n1)( a r c t a n??????).,(,1 1 2 ??????? xx同理有 21( ar c c ot ) ,1x x? ???( , ) .x ? ? ? ? ? 的反函數(shù)，故 ( ii ) a r c t a n t a ny x x y?? 是在上 ()22?π π，定理 0( ) ( )u x x y f u???設(shè) 在點 可導(dǎo)， 在點00 ()u x f??? 可 導(dǎo) ， 則 復(fù) 合 函 數(shù)在點 x0 可 這個定理一般用有限增量公式來證明 ， 但為了與 ? ?0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( 7 )f x f u x f x x? ? ? ?? ? ? ? ???導(dǎo)， 且 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 證法 , 為此需要先證明一個引理 . 今后學(xué)習(xí)向量函數(shù)相聯(lián)系 ， 這里采用另一種新的 引理 f 在點 x0 可導(dǎo)的充要條件是 : 在 x0 的 某鄰 00( ) ( ) ,U x x H x域 上存在一個在 連續(xù)的函數(shù) 使證 設(shè) f (x) 在點 x0 可導(dǎo) , 且令 00000( ) ( ) ,()()( ) , .f x f xx U xxxHxxxfx? ????? ?? ? ??00( ) ( ) .f x H x? ?且 ),)(()()( 00 xxxHxfxf ???000000( ) ( )li m ( ) li m ( ) ( ) ,x x x xf x f xH x f x H xxx??? ?? ? ??因0()H x x故 在 連續(xù)，且00, ( ) ( ( ) ) ,H x x U x x?反之 設(shè)存在 在點 連續(xù) 且0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .f x f x H x x x x U x? ? ? ?? ? ? ? ),()(l i ml i m00000xHxHxx xfxfxxxx??????得 f (x) 在點 x0 可導(dǎo) , ).()( 00 xHxf ??且下面證明定理 ( 公式 (7) ) . ).(),)(()()( 000 xUxxxxHxfxf ????根據(jù)極限 ),(0 uFu 連續(xù)的函數(shù)個在點 且使 )()( 00 uFuf ??同理， ,)( 0 可導(dǎo)在點 xxu ?? 則存在一個在點 x0 ).(),)(()()( 000 uUxuuuFufuf ????0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) .u u x x x x x x U x? ? ?? ? ? ? ? ?于是當(dāng) 有 ),( 0xUx?由引理的必要性 ,)( 0 可導(dǎo)在點及 uuf 知存在一 ( ),x? 00( ) ( ) ,xx??? ?使 且 連續(xù)的函數(shù) 00( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) .f x f x F x x x x? ? ? ?? ? ?公式 (7)改寫為 0 0 0 0 0( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .H x F x x f u x? ? ???? ? ?0, x??由于 在點 連續(xù) )( 00 xuF ??在點 連續(xù)， 0( ) ( ( ) ) ( ) .H x F x x x???所以 在點 連續(xù)根據(jù)引 理的充分性 , 0 ,fx? 在點 可導(dǎo) 且)()( 0xf ???( ) , ( ) ,y f u u x???其中 這樣就容易理解 “鏈” 的 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 (7) 又稱為 “鏈?zhǔn)椒▌t” . 若將 ,dxdududydxdy ?( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ) .f x f x x? ? ?? ? ??與 的不同含義例 5 .s i n 2 yxy ?? 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分 ()( ( ) ) ( ) | uxf x f u ?? ??? ?22d d d ( sin ) ( ) c o s 2 2 c o s .d d dy y u u x u x x xx u x ??? ? ? ? ?意義了 . 解 分解成 這兩個 2s inyx?將 2s iny u u x??與于是由鏈?zhǔn)椒▌t , 有 基本初等函數(shù)的復(fù)合， 例 6 ( , 0 ) .y x x? ???求冪函數(shù) 是實數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解 lne e lnxuy x y u x?? ?? ? ? ?由與復(fù)合而成 , l n 1( ) ( e ) e .xuxxx? ? ?? ? ???? ? ? ?故例 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 2( i ) 1 。1 x?2( ii i) ln ( 1 ) .xx??解 運用復(fù)合求導(dǎo)法則 , 分別計算如下 : 12222 1( i ) ( ) ( 1 ) ( 1 )12 xxx???? ? ?? 2 .1xx??2 3 2 2211( i i ) ( 1 ) ( 1 )21xxx?????? ?? ? ? ????23.( 1 )xx???2( i i i ) l n ( 1 )xx ?????????221 ( 1 )11xx x x??? ? ?221 ( 1 )1xxx x?? ? ?? ?21 .1 x??例 8 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 21( i ) ( ) a r c t a n ( t a n ) 。()(,)()2( 為常數(shù)cuccuvuvuuv ????????d1( 4 ) 。1,)3( 22 vvvv vuvuvu ?????????????????????。cc? ? 為 常 數(shù))。s i n)( c os,c os)( s i n)3( xxxx ?????。c s c)( c ot,s e c)( t an)4( 22 xxxx ?????d d d( 5 ) .d d dy y ux u x?復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11( 6 ) ( lo g ) , ( ln ) 。x x x xa a a??? ? ?,20??200 ???2211( 7 ) ( ar c si n ) , ( ar c c os ) ,11xxxx??? ? ???21(ar c c ot ) .1x x? ?? ?21(ar c tan ) ,1x x? ? ?作業(yè) 習(xí)題 3 167。 一般情形下則采用參數(shù)方程 平面曲線通常用方程 ()y f x? ( , ) 0F x y ?或 設(shè)平面曲線 C 的參數(shù)方程為 平面曲線兩種方程之間的聯(lián)系 . ( ) , . ( 1 )( ) ,xt tyt? ????? ??? ??如果函數(shù) 有反函數(shù) 則 (1) 式可 ()xt?? ),(1 xt ?? ?1( ( ) ) ( ) .y x f x?? ???確定復(fù)合函數(shù) 由此說明 ( ) , ( ) ,tt??如果 都可導(dǎo) ,0)( ?? t?且 根據(jù)復(fù)合 數(shù) . 這種由參數(shù)方程 (1) 所表示的函數(shù) , 稱為參變量函 函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則 , 得到 d d d ( )dd . ( 2 )ddd d d ( )y y t tyxttx t x t???? ? ??(2) 式的幾何意義如下 : 設(shè)由 (1) 式表示的曲線 C 00( Δ ) ( )Δ ,Δ ( Δ ) ( )t t tyx t t t?????????的割線 的斜率為 00(( Δ ) , ( Δ ) )Q t t t t????PQ00( ( ) , ( ) )P t t??在點 處有切線 . 過點 及鄰近點 P,)( )(00tt?????如果 0( ) , ( )t t t?? 在點 則切線 ,0)( 0 ?? t?可導(dǎo)， 00Δ 0 0[( Δ ) ( ) ] ΔΔt an l i m l i mΔ [ ( Δ ) ( ) ] Δttt t t tyx t t t tD?????????????,0)( 0 時當(dāng) ?? t? 有 .)( )(c o t00tt??????的斜率為 其中 是切線與 x 軸正向的夾角 ( 見下頁圖 ) . ?22( ) ( ) 0 ,tt??????則稱曲線 C 為 光滑曲線 . 光滑曲線的每一點都存在 , [ , ]? ? ? ?若在 上都存在連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,且 ΔyQOyxP Δx???C例 1 求由參數(shù)方程 c os , ( 0 , π)si n ,x a t ty b t?? ?? ??切線 , 且切線與 x 軸正向的夾角 ()tt? 是 的連續(xù) 函 數(shù) . 解 由公式 (2) 得到 ( 這是上半橢圓方程 ) 所確定的函數(shù) 的 ()y f x?導(dǎo)數(shù) , 并求此橢圓在 處的切線方程 . π 4t ?( ) c os ,( ) si n .xy? ? ?? ? ???? ??d ( si n )dd c ot ,ddd ( c os )y b t byx tttx a t a?? ? ? ??π4d .d tybax ? ??故所求切線為 22 ( ) .b b ayxa? ? ? ?例 2 若曲線 由極坐標(biāo)方程 ? ? ? (? ) 給出 , 則 C可以把它轉(zhuǎn)化成以極角 ? 為參數(shù)的參數(shù)方程 dd ,ddxy??如果 存在,0dd ??x且 則 d ( ( ) si n ) ( ) si n ( ) c osd ( ( ) c os ) ( ) c os ( ) si nyx? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?( ) t an ( ) . ( 3 )( ) ( ) t an? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ?xOT? ?? HM??C?(3) 式表示的是曲線 )(??? ?線 MT 與極軸 Ox 的 ( , )M ??在點 處的切 向徑 ) 與切線 MT 的夾角 ? 的正切是 將 (3) 式代入 (4) 式 , 化簡后可得 t an t ant an t an ( ) . ( 4 )1 t an t an??? ? ????? ? ??()t an . ( 5 )()?????? ?夾角 ? t a n .?的正切 過 M 的射線 OH ( 即點 M的 徑的夾角 ? 是常數(shù) . 例 3 證明對數(shù)螺線 上所有點處的切線 與向 2e?? ?證 ,?因為對每一 值a r c t a