數(shù)學(xué)分析論文-在線瀏覽
2024-10-18 17:15本頁面
【正文】 1空心鄰域內(nèi)有界，即存在K﹥0,使|f1（xi,xi+1,…,xn）|00≤K［|xixi0|﹤d1，i=1,2,…,n.（x1，x2，…，xn）≠（x1］ ,x2,…,x0n）00此時，由⑷式得|f(x1，…，xn)﹣M|≤K（|x1x1|+…+|xnxn|），d1），當(dāng)|xixi0|﹤d，且（x1，x2，…，xn）nKee00x≠（x1）時，有|f(，…，)﹣M|﹤K（，…，）=e x,x2,…,x01nnnKnK任意的e﹥0，取d=min（從而證明了00(x1,x2,…,xn)174。(x1,x2,…,x0n)定理3 若f(x1，…，xn)為n元多項式，且則f(x1，…，xn)﹣A可表示為limf(x1，…，xn)=A，00f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+0（xnxn）fn(xn)其中f1(x1，…，xn)，f2(x2，…，xn)，…，fn(xn)為多項式。(x1,x2,…,x0n)lim［f(x1，…，xn)﹣A］=M，又因為00(x1,x2,…,xn)174。從以上結(jié)果我們就得到了用定義證明多元多項式極限的方法。這里以二元函數(shù)為例介紹幾種求極限的方法。例1 求(x,y)174。xy(x2y2)x2y2因為|﹣0|=xyyx2+y2x+y2所以任給e﹥0，取S=e，當(dāng)x﹤S,y﹤S,（x，y）≠（0，0）時，xy(x2y2)xy(x2y2)有|﹣0|≤xy﹤e(0,0)x+yx+y四則運算法例2 求解：所以x+y(x,y)174。(1,2)(x,y)174。(1,2)x2xy+y2lim迫斂法例3 求(x,y)174。y2 22x+yx(x2+y2)12=xy 222x+y(x,y)174。y2xy=0，所以lim=0 22(x,y)174。(0,1)limsinxy x(x,y)174。y）=lim1=1(x,y)174。(0,1)(x,y)174。例5(x,y)174。(0,0)lim（1+x+y+1）=2，所以x2+y21+x+y122(x,y)174。(0,0)limsin(x5+y5)x+y解：因為當(dāng)（x，y）174。0,，所以sin(x5+y5)~x5+y5..故 lim(x,y)174。(0,0)x+yx+y=(x,y)174。y2xy3+y4)x+y=(x,y)174。y2+xy3y4）=0取對數(shù)法如要求的極限形如lim(x,y)f(x,g)種形式，則通常應(yīng)用先取對數(shù)而后求極限的方法。(0,0)lim(x2+y2)x22y2222解：令Z=(x+y)22x2y2x2yln(x+y)=2，()()y2=0x2+y21lntt=lim（t）=0.=lim(x2+y2)ln(x2+y2)=limt174。0+1t174。(0,0)lim又令t=x2+y2時，(x,y)174。(0,0)lim㏑Z=0，即(x,y)174。例8 求10(x+y)(∞,+∞)lim,y174。+∞解：設(shè)x+y=t，則當(dāng)x174。(∞,+∞)lim(x+y)10e=limt t174。+∞e10t10!10ettt174。+∞()()x,y174。(0,0)limxyx+y22236。有r=x2+y2,當(dāng)（x，y）174。0，又x2+y2238。(0,0)limxyx+y22=、轉(zhuǎn)換法 求(x,y)174。ex)ey+(y2(∞,+∞lim(x)2+y2)e(x+y)=(x,y)174。ex)ey+(x,y)174。ey)ex2y230。eylimey+230。limy247。lime246。=0+0=174。+∞232。+∞248。y174。以上我們主要介紹了二元函數(shù)極限的一些求法,但是,在一般情況下,［1］黃玉民，（下冊）［M］.北京：科學(xué)出版社，1999（南開大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)系列叢書）［2］鄭憲祖，王仲春，蔡偉，田學(xué)正，辛發(fā)元，劉夫孔，（下冊）［M］陜西：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1985 ［3］劉玉璉，呂鳳，范德新，（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，1994 ［4］（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2010 ［5］張?zhí)斓?，（下冊?()()第二篇：數(shù)學(xué)分析課程論文選題。（實數(shù)連續(xù)性）證明極限的若干技巧。12．初等函數(shù)的連續(xù)性及對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用。14．閉區(qū)間套定理的證明、推廣及應(yīng)用。16．實數(shù)的連續(xù)性定理的等價性。18．對各種導(dǎo)數(shù)的研究。20．（高階導(dǎo)數(shù)）萊布尼茲公式的應(yīng)用及推廣。22．柯西中值定理的證明及應(yīng)用。24．中值定理“中間值”的漸進(jìn)性。26．泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用。28．凸函數(shù)的等價定義。（一元、多元）31．函數(shù)的極值研究。（正態(tài)分布的密度函數(shù)、G函數(shù)……）33．不定積分計算中的若干技巧。35．換元積分法中的換元技巧。37．三角函數(shù)的不定積分計算中的若干技巧。39．可積準(zhǔn)則的等價性。41．積分等式證明的若干技巧。43．平面圖形的面積的計算方法。45．積分中值定理中間值的漸進(jìn)性。47．微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。49．正項級數(shù)判別法綜述。51．一致收斂性質(zhì)及其判別法。53．將函數(shù)展開為冪級數(shù)的若干方法。55．Fourier級數(shù)收斂定理的證明及應(yīng)用。57．二元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微性之間的關(guān)系。59．多元函數(shù)極值的充要條件。61．最小二乘法及應(yīng)用。63．廣義積分的收斂判別法。65．B函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。67．含參變量無窮積分的性質(zhì)及應(yīng)用。69．三重積分的計算方法。71．重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。73．分片函數(shù)的可微性及其應(yīng)用。75．格林公式及其應(yīng)用。77．奇偶對稱性在重積分中的應(yīng)用。79．代換技巧在曲線積分中的應(yīng)用。81．斯托克斯公式及其應(yīng)用。主要考核數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理。要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運用eN語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運用；了解數(shù)列極限柯西準(zhǔn)則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.(三)函數(shù)極限函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號性
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