【正文】 ij 未知 ， .,1。,1 sjri ?? ?? 那么，要比較同一因素的各個(gè)總體的均值是否一致，就是要檢驗(yàn)各個(gè)總體的均值是否相等，故 檢驗(yàn)假設(shè)為： 因 素 B 試 驗(yàn) 結(jié) 果 因 素 A jrjjjAH ????? ???? ?210 : ,1 sj ? ????? iisiiBH ???? ?210 : .,1 ri ?? 備擇假設(shè)為 不全相等。isiiBH ??? ,: 211 ? 由 假 設(shè) 有 ),(~ 2??ijij NX （ ij? 和 2? 未 知 ）， 記 ?ijX i? = ij? ， 即 有ijijij X ?? ?? ~ ),0( 2?N 故 ?ijX ij? 可視為隨機(jī)誤差 . 從而得到如下數(shù)學(xué)模型 ??? ???? 相互獨(dú)立。,1。 2. 偏差平方和及其分解 類似于單因素方差分析，需要將總偏差平方和進(jìn)行分解 . 記 。,1,1,1111 1sjXrXriXsXXrsXriijjsjijirisjij?????????? ?????? ? 將總偏差平方和進(jìn)行分解： ST = 21 1 )( XXrisj ij ???? ? 21 1)]()()[( XXXXXXXX jiijjrisj i???????? ???? ? ?? ? 由于在 TS 的展式中三個(gè)交叉項(xiàng)的乘積都等于零，故有 EBAT SSSS ??? , 其中 , ,)()( 2121 1 XXsXXS ri iri sj iA ???? ?? ? ? ?? ? ? , ,)()( 1 21 1 2 ?? ? ? ?? ? ? ???? sj jri sj jB XXrXXS SE = .)(1 12? ?? ? ?? ???risj jiij XXXX 我們稱 SE 為誤差平方和；分別稱 SA ， SB 為因素 A、因素 B 的偏差平方和 . 類似地，可以證明當(dāng) AH0 、 BH0 成立時(shí)，有 1) 2222 , ???? EBAT SSSS 分別服從自由度依次為 )1)(1(,1,1,1 ????? srsrrs 的2? 分布 。1)(1(,1( ??? srrF 取顯著性水平為 ? ，得假設(shè) AH0 的拒絕域?yàn)? FA =))1)(1( )1( ?? ?srS rSE A ? ))。1)(1(,1( ??? srsF 取顯著性水平為 ? ，得假設(shè) BH0 的拒絕域?yàn)? FB =))1)(1( )1( ?? ?srS sSE B ? ))。,1 ri ?? T j? = ?? ?? ??ri jijj XrXT 1, 。,1。,1。,1 tksjri ??? ??? 2) 每個(gè)總體的方差相同； 3) 各 ijkX 相互獨(dú)立， tksjri ,1。,1 ??? ??? . 由 假設(shè)有 ijkX ),(~ 2??ijN （ ij? 和 2? 未 知），記 ?ijkX i? = ijk? ，即有ijkijijk X ?? ?? ~ ),0( 2?N 故 ?ijkX ijk? 可視為隨機(jī)誤差 . 從而得到如下數(shù)學(xué)模型 ????? ????? 。,1。,1 ?? ?? ）， 其中 ????? ???? ?? jiijij （ sjri ,1。易見 ,1,01 risj ij ????? ? ???ri ij1 0? ， j=1， 2， ?， s， 從而前述數(shù)學(xué)模型可改寫為 ),0~ 2i ??????? ，（， NX ijkijkijjijk ????? .,1。,1 tksjriijk ??? ???相互獨(dú)立，各 ? ? ? ? ?? ? ? ? ????ri sj ri sj ijijji` 1 1 1 ,0,0,0,0 ???? 其中 ? ， ? i ， j? ， ? ij 及 ? 2 都是未知參數(shù) . 假設(shè)檢驗(yàn)為 ： (1) ??? ???? 不全為零rA rAHH ??? ??? ,: ,0: 211 210 ? ? (2) ??? ???? 不全為零sB sBHH ??? ??? ,: ,0: 211 210 ? ? (3) ??? ?????? 不全為零。 2. 偏差平方和及其分解 引入記號(hào)： X =rst1 ???? ? ?risjtk ijkX1 1 1， X ?ij = ??tk ijkXt 11 ， i=1， 2， ?， r， j=1， 2， ?， s， X ??i = ??? ?sjtk ijkXst 1 11 ， i=1， 2， ?， r， X ??j = ??? ?ritk ijkXrt 1 11 ， j=1， 2， ?， s。 上式可分解為 ST =SE +SA +SB +S BA? 其中 SE =???? ? ? ??risjtk ijijk XX1 1 12)( ， SA =st?? ?? ?ri i XX12)( , SB = rt?? ?? ?sj j XX12)( , S BA? = t? ?? ? ????? ???risj jiij XXXX1 12)( 同樣，我們?nèi)?SE 稱為誤差平方和， SA ， SB 分別稱為因素 A、因素 B 的偏差平方和，S BA? 稱為 A， B 交互偏差平方和 . 類似地，可以證明當(dāng) AH0 、 BH0 、 BAH?0 成立時(shí)，有 1) , 22222 ????? EBABAT SSSSS ?分別服從自 由度依次為 )1(),1)(1(,1,1,1 ?????? trssrsrrst 的 2? 分布， 2) EBABAT SSSSS , ? 相互獨(dú)立。1(,1( ?? trsrF 取顯著性水平為 ? ，得假設(shè) AH0 的拒絕域?yàn)? FA =))1(( )1( ??trsS rSE A ? ))。1(,1( ?? trssF 取顯著性水平為 ? ，得假設(shè) BH0 的拒絕域?yàn)? FB =))1(( )1( ??trsS sSE B ? ))。1(),1)(1(( ??? trssrF 取顯著性水平為 ? ，得假設(shè) BH0 的拒絕域?yàn)? F BA? =))1(( )1)(1( ? ??? trsS srS EBA ? ) ) 。 液溫選取兩個(gè)水平 : 1B (現(xiàn)行溫度 ), 2B (增加 10℃ ))。而變量之間關(guān)系 , 一般可分為確定的和非確定的兩類 . 確定性關(guān)系可用函數(shù)關(guān)系表示 , 而非確定性關(guān)系則不然 . 例如 , 人的身高和體重的關(guān)系、人的血壓 和年齡的關(guān)系、某產(chǎn)品的廣告投入與銷售額間的關(guān)系等 , 它們之間是有關(guān)聯(lián)的，但是它們之間的關(guān)系又不能用普通函數(shù)來表示。具有相關(guān)關(guān)系的變量雖然不具有確定的函數(shù)關(guān)系，但是可以借助函數(shù)關(guān)系來表示它們之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種近似地表示它們之間的相關(guān)關(guān)系的函數(shù)被稱為回歸函數(shù)。 在實(shí)際中最簡單的情形是由兩個(gè)變量組成的關(guān)系。 回歸分析就是根據(jù)已得的試驗(yàn)結(jié)果以及以往的經(jīng)驗(yàn)來建立統(tǒng)計(jì)模型，并研究變量間的相關(guān)關(guān)系，建立起變量之間關(guān)系的近似表達(dá)式，即經(jīng)驗(yàn)公式，并由此對(duì)相應(yīng)的變量進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制等。 因 素 B 指 標(biāo) 值 因 素 A 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 一元線性回歸模型 ★ 最小二乘估計(jì) ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 最小二乘估計(jì)的性質(zhì) ★ 回歸方程的檢驗(yàn)假設(shè) ★ 總偏差平方和的分解 ★ 回歸方程的檢驗(yàn)方法 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 預(yù)測(cè)問題 ★ 例 5 ★ 控制問題 ★ 可化一元線性回歸的情形 ★ 例 6 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 83 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn)： 一、引例 為了研究某一化學(xué)反應(yīng)過程中溫度 x 對(duì)產(chǎn)品得率 Y 的影響 . 測(cè)得數(shù)據(jù)如下 : 89857874706661545145%/ 190180170160150140130120200100/iiy Cx溫度溫度? 試研究這些數(shù)據(jù)所蘊(yùn)藏的規(guī)律性 . 二、一元線性回歸模型 一般地 ,當(dāng)隨機(jī)變量 Y 與普通變量 x 之間有線性關(guān)系時(shí) , 可設(shè) ??? ??? xY 10 , （ 1） ),0(~ 2?? N 其中 10,?? 為待定系數(shù)。在線性模型中 ,由假設(shè)知 ),(~ 210 ??? ，xNY ? xYE 10)( ?? ?? (3) 回歸分析就是根據(jù)樣本觀察值尋求 10,?? 的估計(jì) 10 ?,? ?? . 對(duì)于給定 x 值 , 取 xY 10 ??? ?? ?? (4) 作為 xYE 10)( ?? ?? 的估計(jì)，方程 (4)稱為 Y 關(guān)于 x 的線性回歸方程或經(jīng)驗(yàn)公式，其圖像稱為回歸直線， 1?? 稱為回歸系數(shù) . 三、最小二乘估計(jì) 對(duì)樣本的一組觀察值 ),( 11 yx ),( 22 yx … , ),( nn yx 對(duì)每個(gè) ix , 由線性回歸方程 (4)可以確定一回歸值 ii xy 10 ??? ?? ?? , 這個(gè)回歸值iy?與實(shí)際觀察值 iy 之差 iiii xyyy 10 ??? ?? ???? 刻畫了 iy 與回歸直線 xy 10 ??? ?? ?? 的偏離度 . 一個(gè)自然的想法就是 : 對(duì)所有 ix ,若 iy 與 iy? 的偏離越小 , 則認(rèn)為直線與所有 試驗(yàn)點(diǎn)擬和得越好 . 令 ?? ???nI ii xyQ 1210 )(),( ???? 上式表示所有觀察值 iy 與回歸直線 iy? 的偏離平方和 , 刻劃了所有觀察值與回歸直線的偏離度。 剩S 稱為剩余平方和，它是由試驗(yàn)誤差以及其它未加控制因素引起的 ,它的大小反映了試驗(yàn)誤差及其它因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響 .關(guān)于回S 和 剩S ，有下面的性質(zhì)： 定理 2 在線性模型假設(shè)下 , 當(dāng) 0H 成立時(shí) , 1?? 與 剩S 相互獨(dú)立 , 且),2(~/ 22 ?nS ??剩 ).1(~/ 22 ??回S 對(duì) 0H 的檢驗(yàn)有三種本質(zhì)相同的檢驗(yàn)方法 : T — 檢驗(yàn)法； F — 檢驗(yàn)法；相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法 . 在介紹這些檢驗(yàn)方法之前 , 先給出 總S , 回S , 剩S 的計(jì)算方法 . ? ?? ? ???? ni ni yyii Lde fynyyyS 1 1 222)(總 xyxx LLS 121 ?? ?? ??回 xyyy LLS 1????剩 1. ?T 檢驗(yàn)法 由定理 1, ),1,0(~)//()?( 11 NL xx??? ? 若令 ),2/(? 2 ?? nS剩? 則由定理 2知， ?? 為 2? 的無偏估計(jì) , 22?)2( ???n = ),2(~ 22 ?nS ??剩 且 )/