20xx屆天一大聯(lián)考高三畢業(yè)班階段測(cè)試(五)數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)-在線瀏覽
2025-04-03 00:25本頁面
【正文】 則有，令，得，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為又，與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理進(jìn)行證明，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19．已知函數(shù).（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程，并證明的圖象上除點(diǎn)以外的所有點(diǎn)都在這條切線的上方；（2）若函數(shù)，證明：.【答案】（1）切線方程為，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)且時(shí)，即可；（2）求得，分析得出對(duì)任意的恒成立，可得出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1），則，所以，.所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.設(shè)，則，令，可得；令，可得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且時(shí)，所以的圖象上除點(diǎn)以外的所有點(diǎn)都在這條切線的上方；（2）由題可知，.則，因?yàn)?，所以，則，又由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，上述兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，原式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于兩點(diǎn)，(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2.（1）求拋物線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩直線，的傾斜角互補(bǔ)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的面積相等，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由焦點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)的面積為2求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得，以及焦點(diǎn)到直線的距離，求得，將用替換，得到，由，可得與a的關(guān)系，然后再結(jié)合判別式大于零求解.【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.所以，故.故拋物線的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線.點(diǎn)，.聯(lián)立方程可得，消去，可得.則.因?yàn)?，所以，焦點(diǎn)到直線的距離，所以.設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，將用替換，可得由可得，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)可得，所以，解得.又由且得或，可知，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解決直線與曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．（2）解決直線與曲線的弦長(zhǎng)時(shí)，往往設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (k為
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