高中數(shù)學(xué)總結(jié)導(dǎo)數(shù)知識(shí)梳理-展示頁
2024-12-30 04:38本頁面
【正文】 限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。貝努利和他的兄弟約翰 任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大 的科學(xué)工作者。 直到 19 世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。 應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷 一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們的研究各有長處，也都各有短處。 其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。 不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的 數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對(duì)立。 前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。 1686 年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給 定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程 (積分法 )。 牛頓在 1671 年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》，這本書直到 1736 年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。 十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家ㄈ牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。 公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。①求 的值；②求過點(diǎn) 的曲線 的切線方程 （答：① 1；② 或 ）。 特別提醒： （ 1） 在求曲線的切線方程時(shí)，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點(diǎn)處的切線，還是過某點(diǎn)的切線：曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，而過某點(diǎn)的切線不一定只有一條，即使此點(diǎn)在曲線上也不一定只有一條； （ 2） 在求過某一點(diǎn)的切線方程時(shí)，要首先判斷此點(diǎn)是在曲線上，還是不在曲線上，只有當(dāng)此點(diǎn)在曲線上時(shí)，此點(diǎn)處的切線的斜率才是 。 求 在 處的導(dǎo)數(shù)的步驟： （ 1）求函數(shù)的改變量 ； （ 2）求平均變化率 ； （ 3）取極限，得導(dǎo)數(shù) 。導(dǎo)數(shù) 一、 導(dǎo)數(shù)的概念 1． 導(dǎo)數(shù)的背景 （ 1）切線的斜率；（ 2）瞬時(shí)速度；（ 3）邊際成本。 如一物體的運(yùn)動(dòng)方程是 ，其中 的單位是米， 的單位是秒，那么物體在
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