20xx年高中數(shù)學(xué)112余弦定理教案新人教a版必修5-展示頁
2024-10-25 13:05本頁面
【正文】 它們夾角的余弦的積的兩倍 形式一a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，c2=a2+b22abcosC形式二b2+c2a2cosA=2bcc2+a2b2cosB=2caa2+b2c2cosC=2ab師 在余弦定理中,令C =90176。AD+AD2=B2+C22Ca2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？與怎樣的角有關(guān)呢？顯然應(yīng)與∠ 圖2 圖3導(dǎo)入新課二師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用,在體會向量應(yīng)用的同時,解決了在三角形已知兩角、,下面我們來看如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題在△ABC中,設(shè)BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來表示A師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示,DB可利用ABAD轉(zhuǎn)化為AD,進而在Rt△ADC內(nèi)求解解：過C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得A2=CD2+BD∵在Rt△ADC中,CD2=B2AD又∵BD2=(CAD)2=C22CC90時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變長，即c2a2+185。C的大小變化,c2與a2+b2有怎樣的大小關(guān)系呢？如圖2，若208。C=90，能否求第三邊？勾股定理c2=a2+b2提問2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關(guān)系？在△ABC中，當208。教學(xué)重點余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。第一篇：2014年高中數(shù)學(xué) 新人教A版必修5 教材分析三維目標知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)建議課本在引入余弦定理內(nèi)容時，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問題，是為了更好地加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進行討論，方法不夠簡潔，通過向量知識給予證明,引起學(xué)生對向量知識的學(xué)習(xí)興趣,，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力．在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點,在解題時正確選用余弦定理達到求解、求證目的 啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系,在應(yīng)用向量知識的同時,注意使學(xué)生體會三角函數(shù)、正弦定理、提問1：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正弦定理，解決了有關(guān)三角形的兩類問題：已知兩角和任意一邊；②？已知兩邊和夾角；——,b及夾角208。C=90時，有c2=a2+b2．實驗：若a,b邊的長短不變，208。C90時，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變短，即c2a2+，若208。90時，c2185。AD+AD∴A2=B2AD2+C22C∵在Rt△ADC中,AD=B時,這時cosC=0,所以c2=a2+b2,對于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進一步體會向量知識的工具性作用.[合作探究(1)證明思路分析師聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來研究這個問題．由于涉及邊長問題，那么可以與哪些向量知識產(chǎn)生聯(lián)系呢生 向量數(shù)量積的定義式a則cosC=0，這時c2=a2+，勾股定理是余弦定理的特例．師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變成可定量計算的公式了．師 在證明了余弦定理之后,我們來進一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用(通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題(1)已知三邊,求三個角這類問題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本P8例4屬這類情況(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角這類問題第三邊確定,因而其他兩個角唯一,故解唯一,不會產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷取舍等問題接
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