人教a版高中數(shù)學(xué)必修二231直線與平面垂直的判定word教案-展示頁
2024-12-15 11:32本頁面
【正文】 B 是 α的垂線，點(diǎn) B 是垂足，所以直線 OB（記作 l′）是 l在 α內(nèi)的射影， ∠ AOB（記作 θ）是 l與 α所成的角 . 直線和平面所成的角是一個非常重要的概 念，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，如發(fā)射炮彈時，當(dāng)炮筒和地面所成的角為多少度時，才能準(zhǔn)確地命中目標(biāo)，也即射程為多遠(yuǎn)？又如鉛球運(yùn)動員在投擲時，以多大的角度投擲，投出的距離最遠(yuǎn)？ ⑤ 點(diǎn)到平面的距離 :經(jīng)過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個平面內(nèi)的射影，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影還是一個點(diǎn) . 垂線段：上述的點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個平面的垂線段 . 點(diǎn)到平面的距離：垂線段的長叫做點(diǎn)到平面的距離 . （三） 應(yīng)用示例 思路 1 例 1 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面 . 解： 已知 a∥ b， a⊥ 證： b⊥ α. 圖 7 證明： 如圖 7,在平面 α內(nèi)作兩條相交直線 m、 n，設(shè) m∩n=A. ************ 變式訓(xùn)練 如圖 8,已知點(diǎn) P為平面 ABC外一點(diǎn)， PA⊥ BC， PC⊥ AB，求證： PB⊥ AC. 圖 8 證明： 過 P作 PO⊥ 平面 ABC于 O，連接 OA、 OB、 OC. ∵ PO⊥ 平面 ABC， BC?平面 ABC， ∴ PO⊥ BC. 又 ∵ PA⊥ BC， ∴ BC⊥ 平面 PAO. 又 ∵ OA?平面 PAO， ∴ BC⊥ OA. 同理 ,可證 AB⊥ OC.∴ O是 △ ABC的垂心 . ∴ OB⊥ PO⊥ AC. ∴ AC⊥ 平面 PBO. 又 PB?平面 PBO， ∴ PB⊥ AC. 點(diǎn)評： 欲證線面垂直需要轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，欲證線線垂直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直 .用符號語言證明問題顯得清晰、簡潔 . 例 2 如圖 9,在正方體 ABCD— A1B1C1D1中，求直線 A1B和平面 A1B1CD所成的角 . 圖 9 活動 ： 先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路 . 解： 連 接 BC1交 B1C于點(diǎn) O，連接 A1O. 設(shè)正方體的棱長為 a， 因?yàn)?A1B1⊥ B1C1,A1B1⊥ B1B,所以 A1B1⊥ 平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥ BC1. 又因?yàn)?BC1⊥ B1C，所以 BC1⊥ 平面 A1B1CD. 所以 A1O 為斜線 A1B 在平面 A1B1CD內(nèi)的射影， ∠ BA1O為直線 A1B與平面 A1B1CD所成的角 . 在 Rt△ A1BO中 ,A1B= a2 ,BO= a22 ,所以 BO= BA121,∠ BA1O=30176。. 變式訓(xùn)練 如圖 10，四面體 A— BCD的棱長都相等， Q是 AD 的中點(diǎn)，求 CQ與平面 DBC所成的角的正弦值 . 圖 10 解： 過 A作 AO⊥ 面 BCD，連接 OD、 OB、 OC，則可證 O是 △ BCD的中心 , 作 QP⊥ OD, ∵ QP∥ AO,∴ QP⊥ 面 BCD. 連接 CP，則 ∠
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