20xx教科版高中物理必修二33萬有引力定律的應(yīng)用-展示頁
2024-12-01 17:01本頁面
【正文】 G， ρ ＝M43π R3＝gR2G43π R3＝3 g4 π RG. 特別提醒 (1)計算天體的質(zhì)量的方法不僅適用于地球 ， 也適用于其他任何星體 ． 注意方法的拓展應(yīng)用 ， 明確計算出的是中心天體的質(zhì)量 ． (2)要注意 R、 r的區(qū)分 ． R指中心天體的半徑 ，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑 ． 若繞近地軌道運(yùn)行 ， 則有 R＝ r. 【 典例 1】 已知引力常量 G和以下各組數(shù)據(jù) ，能夠計算出地球質(zhì)量的是 ( )． A． 地球繞太陽運(yùn)行的周期和地球與太陽間的距離 B． 月球繞地球運(yùn)行的周期和月球與地球間的距離 C． 人造地球衛(wèi)星在地面附近處繞行的速度與周期 D． 若不考慮地球的自轉(zhuǎn) ， 已知地球的半徑與地面的重 力加速度 計算天體的質(zhì)量 解析 此題中的目的是求解 ‘ 地球 ’ 的質(zhì)量 ，其關(guān)鍵在于題中所給四個情景中 “ 地球 ” 是否是一個 ‘ 中心天體 ’ ． 若地球是一個 ‘ 中心天體 ’ ， 則可在題中所給的四個情景中找到以地球為 ‘ 中心天體 ’ 、 以 ‘ 月球 ’ 或‘ 衛(wèi)星 ’ 為 ‘ 環(huán)繞天體 ’ 的系統(tǒng) ， 再運(yùn)用萬有引力定律和勻速圓周運(yùn)動的規(guī)律聯(lián)合求解 ． 此外 ， 還要注意到每一個選項中給定的兩個物理量能否用得上 ， 只有做好這樣的分析判斷之后 ， 解題才能事半功倍 ． 解此題關(guān)鍵是要把式中各字母的含義弄清楚 ， 要區(qū)分天體半徑和天體圓周運(yùn)動的軌道半徑 ． 對 A選項 ． 此選項之中 “ 地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn) ” ，給定的條件是 “ 地球繞太陽的運(yùn)轉(zhuǎn)周期 ” 和“ 地球與太陽之間的距離 ” ． 顯然此處的“ 中心天體 ” 是太陽而非地球 ， 地球是一個“ 環(huán)繞天體 ” ， 而已知的是地球繞太陽運(yùn)行的周期和地球的軌道半徑 ， 只能求出太陽的質(zhì)量 ， 因此無法計算出地球的質(zhì)量 ． 故 A選項錯誤 ． 對 B 選項．在此選項中，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)，月 球是 “ 環(huán)繞天體 ” ，而地球是 “ 中心天體 ” ，且已知月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期 T 和月球與地球之間的距離 r ，由萬有引力定律與勻速圓周運(yùn)動的規(guī)律可得GMmr2 ＝ m4 π2T2 r ，故得地球質(zhì)量為 M ＝4 π2r3GT2 ，顯然，式中的各量均為已知量，即地球質(zhì)量由此式可計算出來．故 B 選項正確． 對 C 選項．在此項中人造地球衛(wèi)星是 “ 環(huán)繞天體 ” ，而地球則是中心天體，又已知人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行速度 v 和運(yùn)動周期 T ，由萬有引力定律 與勻速圓周運(yùn)動規(guī)律可得GMm（ R ＋ h ）2＝m v2R ＋ h和GMm（ R ＋ h ）2 ＝ m4 π2T2 ( R ＋ h ) ，又因為此人造地球衛(wèi)星是 “ 近地 ” 衛(wèi)星，則 h ? R ，可視為 h ≈ 0 ，故有 R ＋h ≈ R ，則以上兩式可分別化為 ： GMmR2 ＝m v2R① 和GMmR2 ＝ m4 π2T2 R ② ，又由于 v ＝2 π rT，代入① 式 ( 當(dāng)然也可以代入 ② 式 ) 可得，地球的質(zhì)量為 M ＝4 π R3GT2 .顯然此式中的量均為已知．即可由此式計算出地球質(zhì)量．故 C 選項正確． 對 D 選項．可以運(yùn)用虛擬物體法計算地球的質(zhì)量．假設(shè)有一個在地面上靜止的物體，對其運(yùn)用萬有引力定律可得：GMmR2 ＝ mg ，則 M ＝gR2G. 其中的 g 為地面上的重力加速度， R為地球半徑，均為已知，可以由此計算出地球質(zhì)量．故 D 選項正確． 答案 BCD 借題發(fā)揮 對于天體的質(zhì)量是通過測量計算得到的，而不是通過稱量獲得．首先要明確，這種方法只能用來計算 “ 中心天體 ” 的質(zhì)量，而不能計算 “ 環(huán)繞天體 ” 的質(zhì)量．其次還必須明確利用題中所給的天文數(shù)據(jù)能否計算出被測天體的質(zhì)量．只有滿足
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