北師大版選修2-2高考數(shù)學(xué)14數(shù)學(xué)歸納法-展示頁(yè)
2024-11-30 00:49本頁(yè)面
【正文】 N+都成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí) ,往往通過(guò)拼湊項(xiàng)或拆項(xiàng)用上歸納假設(shè) ,再應(yīng)用放縮法或其他證明不等式的方法 ( 比較 法、綜合法、分析法等 ) 證得當(dāng) n = k+ 1 時(shí)命題成立 . 典例提升 2 求證 : 當(dāng) n ∈ N+, n ≥ 2 時(shí) ,1?? + 1+1?? + 2+ ? +12 ??1324. 思路分析 :本題為與正整數(shù) n 有關(guān)的不等式 ,可結(jié)合不等式的性質(zhì)加以變形 . 探究一 探究二 探究三 探究四 證明 : ( 1 ) 當(dāng) n= 2 時(shí) ,12 + 1+12 + 2=712=14241324,不等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ≥ 2) 時(shí)不等式成立 , 即1?? + 1+1?? + 2+ … +12 ??1324. 那么當(dāng) n = k+ 1 時(shí) , 1?? + 2+1?? + 3+ … +12 ??+12 ?? + 1+12 ?? + 2 =1?? + 1+1?? + 2+ … +12 ??+12 ?? + 1+12 ?? + 2?1?? + 1 = 1?? + 1+1?? + 2+ ? +12 ?? +12 ?? + 1?12 ?? + 21324+1( 2 ?? + 1 )( 2 ?? + 2 )1324. ∴ 當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,不等式成立 . 由 ( 1 ) ( 2 ) 知 ,當(dāng) n ∈ N+, n ≥ 2 時(shí)不等式成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí) ,關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)證明當(dāng) n = k+ 1 時(shí)的步驟 ,要證好這一步 ,須明確以下兩點(diǎn) :一是要證明的結(jié)論 ,二是當(dāng) n = k+ 1 時(shí)命題與歸納假設(shè)的區(qū)別 ( 即當(dāng) n = k+ 1 時(shí)比當(dāng) n = k 時(shí)增加了哪些項(xiàng) ) .明確了這兩點(diǎn)也就明確了這一步的證明方向 . ?? 變式訓(xùn)練 2 ?? 已知 n 2( n ∈ N+), 求證 :1 +1 2+1 3+ ? +1 ?? ?? + 1 . 證明 : ( 1 ) 當(dāng) n= 3 時(shí) ,左邊 = 1 +1 2+1 3,右邊 = 3 + 1 = 2, 左邊 右邊 ,不等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ∈ N+,且 k ≥ 3) 時(shí) ,不等式成立 , 即 1 +1 2+1 3+ … +1 ?? ?? + 1 . 那么當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,1 +1 2+1 3+ … +1 ??+1 ?? + 1 ?? + 1 +1 ?? + 1=?? + 1 + 1 ?? + 1=?? + 2 ?? + 1. 因?yàn)?? + 2 ?? + 1?? + 2 ?? + 2= ?? + 2 = ( ?? + 1 ) + 1 , 所以 1 +1 2+1 3+ … +1 ??+1 ?? + 1 ( ?? + 1 ) + 1 , 所以當(dāng) n = k+ 1 時(shí) ,不等式成立 . 故由 ( 1 ) ( 2 ) 知 ,對(duì)一切 n 2( n ∈ N+), 不等式成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何與整除問(wèn)題 1 .使用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù) n 有關(guān)的幾何問(wèn)題時(shí) ,關(guān)鍵是找出 n = k到 n = k+ 1 時(shí)的逆推關(guān)系 ,一般方法是分析增加一條與問(wèn)題有關(guān)的曲線或直線后 ,點(diǎn)、線段、曲線段等在 n = k 的基礎(chǔ)上的變化情況 ,尋找遞推關(guān)系 . 2 .使用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題的常用方法是將 n = k+ 1 時(shí)的式子分成兩部分 ,一部分應(yīng)用歸納假設(shè) ,另一部分經(jīng)過(guò)變形處理 ,確定其能被某數(shù)整除 ,而變形的技巧是加減同一項(xiàng)以便提 取公因式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 3 根據(jù)平面上三角形、四邊形、五邊形內(nèi)角和 探究平 面上凸n ( n ≥ 3, n ∈ N + ) 邊形的內(nèi)角和 , 并證明你的結(jié)論 . 思路分析 :本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明平面幾何問(wèn)題的方法 .求解時(shí)先根據(jù)三角形內(nèi)角和為 π ,四邊形內(nèi)角和為 2 π ,五邊形內(nèi)角和為 3 π ,歸納出凸n ( n ≥ 3, 且 n ∈ N + ) 邊形內(nèi)角
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