3-2第3課時(shí)-展示頁(yè)
2024-11-29 20:20本頁(yè)面
【正文】 成的角 設(shè)直線(xiàn) l與平面 α所成的角為 θ， l的方向向量為 a，平面 α的法向量為 n， 則 sin θ＝ _____________＝ _____ 二面角 設(shè)二面角 αlβ的平面角為 θ，平面 α、 β的法向量為 n1， n2，則 |cos θ|＝ _______________＝ _______ [0， π] |cos〈 a， b〉 | 2． |cos〈 a， n〉 | |cos〈 n1， n2〉 | |a b||a| n ||a | n2||n1||n2| 試一試 ：若二面角 α l β的兩個(gè)半平面的法向量分別為 n1，n2，試判斷二面角的平面角與兩法向量夾角 〈 n1， n2〉 的關(guān)系． 提示 相等或互補(bǔ) 兩異面直線(xiàn)所成角的求法 (1)平移法：即通過(guò)平移其中一條 (也可兩條同時(shí)平移 )，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)，然后通過(guò)解三角形獲解． 名師點(diǎn)睛 ( 2 ) 向量法：設(shè)直線(xiàn) l 1 ， l 2 的方向向量分別為 a ， b ， a 與 b 的夾角為 φ ，則 l 1 與 l 2 所成角 θ 滿(mǎn)足 c o s θ ＝ | c o s φ |＝|a n||a || n| ②當(dāng)平面 α、 β的法向量與 α、 β的關(guān)系如圖所示時(shí)，二面角α l β的平面角與兩法向量 n1， n2的夾角 〈 n1， n2〉 互補(bǔ)． 題型一 求異面直線(xiàn)的夾角 正方體 ABCD－ A1B1C1D1中， E、 F分別是 A1D A1C1的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn) AE與 CF所成角的余弦值． 【 例 1】 [ 思路探索 ] 可考慮建立空間直角坐標(biāo)系，求出 AE→， CF→的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求所求角的余弦值 ． 解 不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2，分別取 DA、 DC、 DD1所在直線(xiàn)為 x軸、 y軸、 z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A ( 2 ， 0 ， 0 ) 、 C ( 0 ， 2 ， 0 ) 、 E ( 1 ， 0 ， 2 ) 、 F ( 1 ， 1 ， 2 ) ， 則 AE→＝ ( － 1 ， 0 ， 2 ) ， CF→＝ ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ∴ | AE→|＝ 5 ， | CF→|＝ 6 . AE→ CF→＝ | AE→|| CF→| c os 〈 AE→， CF→〉 ＝ 30 c os 〈 AE→， CF→〉 ∴ c os 〈 AE→， CF→〉＝3010， ∴ 所求值為3010. 規(guī)律方法 在解決立體幾何中兩異面直線(xiàn)所成角問(wèn)題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成的角與異面直線(xiàn)所成角的區(qū)別． 四棱錐 P－ ABCD中， PD⊥ 平面 ABCD，PA與平面 ABCD所成的角為 60176。 ， AB＝ 4，CD＝ 1， AD＝ 2. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出點(diǎn) B、 P的坐標(biāo)； (2)求異面直線(xiàn) PA與 BC所成的角的余弦值． 【 變式 1】 解 (1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． ∵∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 . 在 Rt △ P A D 中，由 AD ＝ 2 ，得 PD ＝ 2 3 . ∴ P ( 0 ， 0 ， 2 3 ) ． ( 2 ) 由 ( 1 ) 得， PA→＝ ( 2 ， 0 ，－ 2 3 ) ， BC→＝ ( － 2 ，－ 3 ， 0 ) ， ∴ c os 〈 PA→， BC→〉＝2 （－ 2 ）＋ 0 （－ 3 ）＋（－ 2 3 ） 04 13 ＝－1313， 即 PA 與 BC 所成角的余弦值為1313. [思路探索 ] 利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線(xiàn)面角，取 A1B1的中點(diǎn) M，連結(jié) C1M，證明∠ C1AM是 AC1與平面 A1ABB1
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