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3-2第3課時(更新版)

2025-01-08 20:20上一頁面

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【正文】 平面的法向量分別為 n1,n2,試判斷二面角的平面角與兩法向量夾角 〈 n1, n2〉 的關(guān)系. 提示 相等或互補 兩異面直線所成角的求法 (1)平移法:即通過平移其中一條 (也可兩條同時平移 ),使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線,然后通過解三角形獲解. 名師點睛 ( 2 ) 向量法:設直線 l 1 , l 2 的方向向量分別為 a , b , a 與 b 的夾角為 φ ,則 l 1 與 l 2 所成角 θ 滿足 c o s θ = | c o s φ |=|a . 在 Rt △ P A D 中,由 AD = 2 ,得 PD = 2 3 . ∴ P ( 0 , 0 , 2 3 ) . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得, PA→= ( 2 , 0 ,- 2 3 ) , BC→= ( - 2 ,- 3 , 0 ) , ∴ c os 〈 PA→, BC→〉=2 (- 2 )+ 0 (- 3 )+(- 2 3 ) 04 13 =-1313, 即 PA 與 BC 所成角的余弦值為1313. [思路探索 ] 利用正三棱柱的性質(zhì),建立適當?shù)目臻g直角坐標系,寫出有關(guān)點的坐標.求角時有兩種思路:一是由定義找出線面角,取 A1B1的中點 M,連結(jié) C1M,證明∠ C1AM是 AC1與平面 A1ABB1所成的角;另一種是利用平面 A1ABB1的法向量 n= (λ, x, y)求解. 題型 二 求線面角 【 例 2】 正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 的底面邊長為 a ,側(cè)棱長為 2 a ,求 A C 1 與側(cè)面 ABB 1 A 1 所成的角 . 解 建立如圖所示的空間直角坐標系,則 A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , a , 0 ) , A 1 ( 0 , 0 , 2 a ) ,C 1 ( -32a ,a2, 2 a ) , 法一 取 A 1 B 1 的中點 M ,則 M ( 0 ,a2, 2 a ) ,連結(jié) AM 、 MC 1 ,有 MC 1→= ( -32a , 0 , 0 ) , AB→= ( 0 , a , 0 ) , AA 1→= ( 0 , 0 , 2 a ) . ∴ MC 1→ AC1→| n || AC1→|=-λ2| λ |. ∴ | c os 〈 AC1→, n 〉 |=12. ∴ AC1與側(cè)面 ABB1A1所成的角為 30 176。 BA1→=- 1 + 4 - 3 = 0 , 【 題后反思 】 幾何法求二面角,往往需要作出其平面角,這是該方法的一大難點.而用向量法求解二面角,無需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,轉(zhuǎn)化為兩直線 (或兩向量 )所成的角,通過向量的數(shù)量積運算即可獲解,體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性. 所以 AB1→⊥ BD→, AB1→⊥ BA1→,所以 AB1⊥ 平面 A1BD , 所以 AB1→是平面 A1BD 的一個法向量, 8 分 所以 c os 〈 n , AB1→〉=n CB→= 0 ,n MD→| AB→|| MD→|=-222=-12. ∴ AB→與 MD→所成的角為2 π3. 故異面直線 AB 與 CD 所成的角 θ = π -2 π3=π3. 方法點評 本題較好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想:空間線面的位置關(guān)系―― →轉(zhuǎn)化直線的方向向量、平面的法向量之間垂直或共線 ―― →轉(zhuǎn)化空間向量運算 ―― →轉(zhuǎn)化空間線面位置關(guān)系;空間角 ―― →轉(zhuǎn)化向量的夾角 ―― →轉(zhuǎn)化空間向量的運算 ―― →轉(zhuǎn)化空間角 . 單擊此處進入 活頁規(guī)范訓練
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