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【正文】 所成的角；另一種是利用平面 A1ABB1的法向量 n＝ (λ， x， y)求解． 題型 二 求線面角 【 例 2】 正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的底面邊長為 a ，側棱長為 2 a ，求 A C 1 與側面 ABB 1 A 1 所成的角 ． 解 建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A ( 0 ， 0 ， 0 ) ， B ( 0 ， a ， 0 ) ， A 1 ( 0 ， 0 ， 2 a ) ，C 1 ( －32a ，a2， 2 a ) ， 法一 取 A 1 B 1 的中點 M ，則 M ( 0 ，a2， 2 a ) ，連結 AM 、 MC 1 ，有 MC 1→＝ ( －32a ， 0 ， 0 ) ， AB→＝ ( 0 ， a ， 0 ) ， AA 1→＝ ( 0 ， 0 ， 2 a ) ． ∴ MC 1→ AA 1→＝ 0 ， ∴ MC 1→⊥ AB→， MC 1→⊥ AA 1→， 則 MC1⊥ AB ， MC1⊥ AA1， 又 AB ∩ AA1＝ A ， ∴ MC1⊥ 平面 ABB1A1. ∴∠ C1AM 是 AC1與側面 A1ABB1所成的角 ． 由于 AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ， AM→＝ ( 0 ，a2， 2 a ) ， ∴ AC1→ ， 即 AC1與側面 ABB1A1所成的角為 30 176。 AB→＝ 0 且 n AC1→| n || AC1→|＝－λ2| λ |. ∴ | c os 〈 AC1→， n 〉 |＝12. ∴ AC1與側面 ABB1A1所成的角為 30 176。 n ＝ 0 ，AM→ n| BC1→|| n | ＝－ a － a3 a 92＝－2 69. 設 BC1與平面 A M C1所成的角為 θ ， 則 s in θ ＝ | c os 〈 BC1→， n 〉 |＝2 69. (12分 )如圖所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱長都為 2， D為 CC1的中點，求二面角 AA1DB的余弦值． 題型 三 二面角的求法 【 例 3】 [規(guī)范解答 ]如圖所示，取 BC中點 O，連結 △ ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，因為在正三棱柱 ABC — A1B1C1中，平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1，所以 AO⊥ 平面 BCC1B1. 取 B 1 C 1 中點為 O 1 ，以 O 為原點， OB→， OO 1→， OA→為 x ， y ， z 軸的正方向建立空間直角坐標系，則 B ( 1 ， 0 ， 0 ) ， D ( － 1 ， 1 ， 0 ) ， A 1 ( 0 ， 2 ， 3 ) ， A ( 0 ， 0 ， 3 ) ， B 1 ( 1 ， 2 ， 0 ) .2 分 設平面 A 1 AD 的法向量為 n ＝ ( x ， y ， z ) ， AD→＝ ( － 1 ， 1 ，－ 3 ) ， AA 1→＝ ( 0 ， 2 ， 0 ) ． 因為 n ⊥ AD→， n ⊥ AA1→， 得?????n AA1→＝ 0 ，得?????－ x ＋ y － 3 z ＝ 0 ，2 y ＝ 0 ， 所以?????y ＝ 0 ，x ＝－ 3 z . 令 z ＝ 1 ，得 n ＝ ( － 3 ， 0 ， 1) 為平面 A1AD 的一個法向量． 5 分 又因為 AB1→＝ (1 ， 2 ，－ 3 ) ， BD→＝ ( － 2 ， 1 ， 0)
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