新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課件-展示頁
2024-11-29 19:50本頁面
【正文】 3OB→＋13OC→. 三 、 利用空間向量解決平行與垂直問題 利用向量可以解決空間中的平行與垂直關(guān)系 ， 是高考的重點(diǎn)題型 ， 有些問題中的線面平行與垂直關(guān)系使用向量會變得很簡捷 ， 將幾何證明與計(jì)算轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算 ， 也使問題得以簡化 ． [例 4] 如下圖 ， 長方體 ABCD—A1B1C1D1中 ， E， F分別是面對角線 B1D1， A1B上的點(diǎn) ， 且 D1E＝ 2E1B， BF＝ 2FA1. (1)求證：直線 EF∥ AC1； (2)若 EF是兩異面直線 B1D1， A1B的公垂線 ， 求證：該長方體為正方體 ． [ 解析 ] ( 1) 證明：以 DA ， DC ， DD1所在的直線分別為 x軸、 y 軸、 z 軸建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè) DA ＝ a ，DC ＝ b ， DD1＝ c ，則得下列各點(diǎn)的坐標(biāo)， A ( a, 0,0) ， C1(0 ， b ，c ) ， E (2 a3，2 b3， c ) ， F ( a ，b3，2 c3) ． 從而 FE→＝ ( －a3，b3，c3) ， AC1→＝ ( － a ， b ， c ) ， ∴ FE→＝13AC1→. 又 FE 與 AC1不共線，所以直線 EF ∥ AC1. ( 2) ∵ D1( 0,0 ， c ) ， B1( a ， b ， c ) ， A1( a, 0 ， c ) ， B ( a ， b, 0) ， ∴ D1B1→＝ ( a ， b, 0) ， A1B→＝ (0 ， b ，－ c ) ． ∵ EF 是兩異面直線 B1D1， A1B 的公垂線， ∴????? FE→ |b |， 但務(wù)必注意兩異面直 線所成角 θ 的范圍是??????0 ，π2， 故實(shí)質(zhì)上應(yīng)有： c os θ ＝ | c os a ， b | . (2)求線面角 求直線與平面所成角時(shí) ， 一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量 ， 通過數(shù)量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量 ， 先求出直線方向向量與平面法向量的夾角 θ其關(guān)系是 sinθ＝ | cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義 ， 在兩個(gè)面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對應(yīng)的方向向量 ， 然后求出這兩個(gè)方向向量的夾角 ， 由此可求出二面角的大??；另一種方法是轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角 ， 它與二面角的大小相等或互補(bǔ) ． 7． 運(yùn)用空間向量求空間距離 空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與點(diǎn) 、 點(diǎn)與線 、 點(diǎn)與面的距離 ． (1)點(diǎn)與點(diǎn)的距離 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是這兩點(diǎn)間線段的長
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