布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價(jià)模型-展示頁
2025-01-24 19:29本頁面
【正文】 將得到普通布郎運(yùn)動，令漂移率為 a，方差率為 b2，我們就可得到變量 x 的普通布朗運(yùn)動： 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動是普通布朗運(yùn)動的一個(gè)特例，即漂移率為 0，方差為 1的普通布郎運(yùn)動。 特征 2：對于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。 , 2023 布朗運(yùn)動（ ）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運(yùn)動軌跡的描述。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。 弱式效率市場假說 半強(qiáng)式效率市場假說強(qiáng)式效率市場假說 根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。 , 2023 市場有效理論與隨機(jī)過程 1965年，法瑪（ Fama）提出了著名的效率市場假說。 在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價(jià)的思想。 因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。 , 2023 我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克 舒爾斯 默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡稱模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。 1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 提出了著名的定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年， C. 獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了 1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 1 169。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來源就是股票價(jià)格的變化，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。在 了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。 2 169。該假說認(rèn)為，證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（ ）是內(nèi)在一致的。 有效市場三個(gè)層次 3 169。 對于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動來說：設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度， 代表變量 z在 時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的 具有兩種特征： 特征 1： 和 的關(guān)系滿足： = 其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差為 1的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。 t? t?zz?? t?? t?zz?t4 169。 5 169。第二項(xiàng) bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對 x的動態(tài)過程添加的噪音 。 在任意時(shí)間長度 T后 x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 b2T。 , 2023 普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量 x的漂移率和方差率當(dāng)作變量 x和時(shí)間 t的函數(shù)，我們就可以得到 這就是伊藤過程（ ）。 dztxbdttxadx ),(),( ??7 169。這就是著名的伊藤引理。 , 2023 案例 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)所遵循的隨機(jī)過程 假設(shè)變量 S服從 其中 μ和 σ都為常數(shù)，則遵循怎樣的隨機(jī)過程？ 由于 μ和 σ是常數(shù)， S顯然服從 ， 的伊藤過程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)所遵循的隨機(jī)過程。 dS Sd t Sd z????( , )a S t S??( , )b S t S??SG ln? 0,1,1 222 ?????????? tGSS GSG bdzxGdtbx GtaxGdG ???????????? )21( 222SG ln? 2l n ( )2dG d S dt dz???? ? ? ?2()2 dt???2dt?**隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別 ln dSdS S?9 169。 10 169。另外從上式可以看出，股票價(jià)格的對數(shù)服從普通布朗運(yùn)動，因?yàn)樗哂泻愣ǖ钠坡? 和恒定的方差率 。也就是說， 2l n ( )2dG d S dt dz???? ? ? ?2/2???2? bdzadtdx ??? ?a T t?? ?22b T t? ]),)([(~lnln2 2 tTtTSS T ???? ??? ?11 169。如果一個(gè)變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，我們可以得到 和 )()( tTT SeSE ?? ? ]1[)var( )()(22 2 ?? ?? tTtTT eeSS ?? 實(shí)際上就是股票價(jià)格在 T－ t期間的連續(xù)復(fù)利收益率， 則 T－ t期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為
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