【正文】 (A) (B) (C) (D) 由此例可見， N階差分方程的 N個邊界條件可以不按順序給出。與連續(xù)時間系統(tǒng)類似，對實系數(shù)的特征方程，若有復(fù)根必為共軛成對出現(xiàn)，形成振蕩 (增、減、等幅 )序列。 121 1 2 21 1 11 1 2 2( 0 )( 1 )( 1 )NNNN N NNNy C C Cy C a C a C ay N C a C a C a? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?LLML (417) 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 寫為矩陣形式 12121 1 1121 1 1( 0)( 1 )( 1 )NN N N NNy CCy a a aCyNa a a? ? ??????????????? ??? ???????? ?????????????LLMMM M L ML(418) 即 (419) 其解系數(shù)為 ? ? ? ?? ?Y V C?? ? ? ? ? ?1C V Y??(420) 1am(2) 當(dāng) 特征 方程中 是 重根時，其特征方程為 1a第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 11( ) ( ) ( ) 0m mNr a r a r a?? ? ? ?L(421) 零輸入解的模式為 11 2 1 1 1( ) ( )m n n nm m m N Ny n C C n C n a C a C a? ??? ? ? ? ? ? ?LL (422) 1()mra? 11 2 1() mnmC C n C n a?? ? ?L式中， 對應(yīng)的解為 ， ，此時 式中， 1C 2C L NC由 (0)y (1)y L ( 1 )y N N?個邊界條件 ， ， ， ， ， ， 確定。因為一階差分方程的特征方程為 0ra?? (412) 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) ( 1)yn? ? 由特征方程解出其特征根為 ra?與齊次微分方程相似，得到特征根 a后，就得到一階差分方程齊次解的一般形式為 ，其中 由始條件 決定。 1. 一階線性時不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 一階線性時不變離散系統(tǒng)的齊次差分方程的一般形式為 ( ) ( 1 ) 0( 0 )y n a y nyC? ? ??? ??將差分方程改寫為 ( ) ( 1 ) 0y n a y n? ? ?第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) ()yn僅與前一時刻 有關(guān)，以 (0)y 為起點： 23( 1 ) ( 0 )( 2 ) ( 1 ) ( 0 )( 3 ) ( 2 ) ( 0 )y a yy a y a yy a y a y?????M當(dāng) 0n≥ 時，齊次方程為 ( ) ( 0 )nny n a y C a?? (411) 由式 (411)可見， ()ynC (0)y是一個公比為 的幾何級數(shù)，其中 取決于初始條件 ，這是式 (410)一階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。因此，系統(tǒng)的完全響應(yīng) ()yn為 ( ) ( ) ( )z i z sy n y n y n?? (49) LTI離散時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 線性時不變離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性差分方程，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)是常系數(shù)線性齊次差分方程的解。 同連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)一樣，離散時間 LTI系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以看做是初始狀態(tài)與輸入激勵分別單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)疊加。暫態(tài)響應(yīng)是指系統(tǒng)完全響應(yīng)中，隨著時間的增加而趨于零的部分， 中的前兩項。而特解的形式取決于激勵信號，稱為強(qiáng)制響應(yīng)，也稱強(qiáng)迫響應(yīng)。 【 例 47】 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 6 ( ) 5 ( 1 ) ( 2 ) ( )y n y n y n f n? ? ? ? ?已知初始條件 (0) 0y ?， (1) 1y ?? ；激勵 ( ) ( )f n u n?，試求方程的全解 ()yn解：求齊次解：上述差分方程的特征 26 5 1 0rr? ? ?解得特征根為兩個不等實根 112r ? 213r ?其齊次解為 h 1 211()23nny n C C? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?求特解：由于輸入是階躍序列 ()un ，因此特解的形式為 p ()y n A?0n≥第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) ? 將特解代入差分方程，得 6 5 1A A A? ? ?解出待定系數(shù) 12A?特解 為 p1()2yn ?0n≥差分方程的全解為 h p 1 21 1 1( ) ( ) ( )2 3 2nny n y n y n C C? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0n≥代入初始條件，有 121(0 ) 02y C C? ? ? ?12 1( 1 ) 12 3 2CCy ? ? ? ? ?解得 1 8C ??2152C ?最后得方程的全解為 1 15 1 1( ) 82 2 3 2nnyn ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0n≥第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 從上面例題可以看出，常系數(shù)差分方程的全解由齊次解和特解組成。將已知的 k 個初始條件 (0)y ， (1)y L ， ( 1)yk? 代入完全解中，即可求得齊次解表示 式中的待定系數(shù)，亦即求出了差分方程的全解。 式 (46)～式 (48)中的待定系數(shù) 1C 2C L kC， ， ， ， 在完全解的形 式 確定后，由給定的 k 個初始條件來確定。 12, , , Nr r rL時，齊次解的形式為 h 1 1 2 2() n n nNNy n C r C r C r? ? ? ?L (46) 當(dāng)特征根是 k階重根 r時，齊次解的形式為 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) ， 當(dāng)特征根是不等的實根 (47) 當(dāng)特征根是共軛復(fù)根 0j1 jer a b ??? ? ?， 0j2 jer a b ?? ?? ? ?齊次解的形式為 時， h 1 0 2 0( ) c os( ) si n( )nny n C n C n? ? ? ??? 特解的形式與激勵信號的形式有關(guān)。齊次解用 符號 h()yn 表示，特解用 p()yn 表示，即 h( ) ( ) ( )y n y n y n?? p 其中齊次解的形式由齊次方程的特征根確定，特解的形式由方程右邊激勵信號的形式確定。 線性差分方程的求解方法 【 例 46】 已知 ( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n? ? ?，且 ( ) 0yn? 0n?， ( ) ( )x n n?? ，求 ()yn 。這種方法將在第 8章討論。 ? (4) 變換域法。 ? (3) 時域經(jīng)典法。與連續(xù)系統(tǒng)的時域法相同，分別求解離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，完全響應(yīng)為二者之和。此法直觀簡便，但往往不易得到一般項的解析式(閉式或封閉解答 )，它一般為數(shù)值解，如例 46。本書將自變量取為時間只是習(xí)慣上的方便，實際上差分方程的應(yīng)用遍及許多領(lǐng)域。這里 代表電路圖中 ()n?n 節(jié)點的順序。 數(shù)學(xué)模型的建立及求解方法 (0) E? ?( ) 0N? ?()n?【 例 45】 電路如圖 ，已知邊界條件 ，求第 n個 節(jié)點電壓 的差分方程。前者是從延時器的輸入端取出，后者是從延時的輸出端取出。 圖 例 43離散時間系統(tǒng)方框圖 【 例 44】 系統(tǒng)框圖如圖 ，寫出其差分方程。在狀態(tài)變量分析中習(xí)慣用前向形式。若還包括未知序列的移位項 y(n2) 、 … 、 y(nN),則構(gòu)成 N階差分方程。 2． LTI離散系統(tǒng)的差分方程 【 例 43】 系統(tǒng)方框如圖 ，寫出其差分方程。 線性時不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的，而線性時不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。 (3) 乘法器的框圖及流圖如圖 。離散系統(tǒng)延時器的作用與連續(xù)系統(tǒng)中的積分器相當(dāng)。 ? (1) 延時器的框圖及流圖如圖 。 (2) ? ?00( ) ( )T x n n n x n n? ? ?0 0 0( ) ( ) ( )y n n n n y n n? ? ? ?所以 ? ?00( ) ( )T x n n y n n? ? ?，是時變系統(tǒng)。 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) ? ?( ) ( ) ( )y n T x n a x n b? ? ?? ?( ) ( ) ( )y n T x n n x n??(1) (2) 。 (2) ? ?? ?? ? ? ?1 0 1 12 0 2 21 2 0 1 20 1 0 212( ) sin ( ) ( ) ( )4( ) sin ( ) ( ) ( )4( ) ( ) sin ( ) ( ) ( )4sin ( ) ( ) sin ( ) ( )44( ) ( )T x n n x n y nT x n n x n y nT x n x n n x n x nn x n n x ny n y n??????? ? ??? ? ??? ? ? ???? ? ? ???所以是線性系統(tǒng)。 ? ?( ) ( ) ( )y n T x n a x n b? ? ?? ? 0( ) ( ) s i n ( ) ( )4y n T x n n x n? ?? ? ?(1) (2) 。 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 圖 系統(tǒng)的線性 圖 離散時間系統(tǒng)的時不變特性 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 下面通過具體例題討論離散系統(tǒng)的線性時不變特性。 ? LTI離散系統(tǒng) ? 與 LTI連續(xù)系統(tǒng)相同， LTI離散系統(tǒng)應(yīng)滿足可分解、線性 (疊加、比例 )以及時不變特性。運(yùn)算關(guān)系滿足不同條件，對應(yīng)著不同的系統(tǒng)。 信號與系統(tǒng) 目錄 ? LTI離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法 ? 離散時間系統(tǒng)的響應(yīng) ? 離散序列卷積 (和 ) ? 離散時間系統(tǒng)的響應(yīng)與系統(tǒng)特性 ? 利用 MATLAB進(jìn)行離散系統(tǒng)的時域分析 LTI離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及其求解方法 ? 離散時間系統(tǒng)的作用是將輸入序列轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂蛄?，系統(tǒng)的功能是完成將輸入 x(n)轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵?y(n)的運(yùn)算，記為 ? 離散時間系統(tǒng)的作用如圖 。 ? 離散時間系統(tǒng)的分析方法在許多方面與連續(xù)時間系統(tǒng)的分析方法有著并行的相似性。在學(xué)習(xí)離散時間系統(tǒng)的完全響應(yīng)時，需弄清楚單位樣值響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系。第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析 ? 教學(xué)提示： 在理解離散時間信號的概念時，不能把離散時間信號狹隘地理解為連續(xù)信號的抽樣或近似。在掌握離散時間系統(tǒng)的分析方法時，在許多方面要與連續(xù)時間系統(tǒng)的分析方法相比較，找出相似處，也要找出他們之間的重要差異。 ? 教學(xué)要求： 本章讓學(xué)生掌握離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立及差分方程的求解方法；熟練掌握離散時間系統(tǒng)的齊次解和特解、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)、單位樣值響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的求解；掌握系統(tǒng)的特性及因果性和穩(wěn)定性的判斷；熟練掌握常見基本序列卷積和、卷積和的性質(zhì)以及求卷積和的常用方法；利用 MATLAB進(jìn)行離散系統(tǒng)的時域分析等。但在參照連續(xù)時間系統(tǒng)的某些方法學(xué)習(xí)離散時間系統(tǒng)理論的時候，必須注意它們之間存在著一些重要差異，這包括數(shù)學(xué)模型的建立與求解、系統(tǒng)性能分析以及系統(tǒng)實現(xiàn)原理等。 圖 離散時間系統(tǒng)的作用示意圖 第 4章 離散時間系統(tǒng)的時域分析