【正文】 ) ( j = 0, 1, 2 , … ， n – 1) ( ) ( ) ( )f fh py k y k y k??零狀態(tài)響應為： 信號與系統(tǒng) 169。 ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 )( 3 )( ) ( )xxxyyyyy n y n? ? ? ??? ? ?????? ? ? ? 一般設定激勵是在 k=0時刻接入系統(tǒng)的，在 k0時，激勵尚未接入，因此（ 2）的初始狀態(tài)滿足 ： 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 310頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 1. 零輸入響應 系統(tǒng)的激勵為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應，稱為 零輸入響應， 用 yx(k)表示。 y(k) = yx(k) + yf(k) 零輸入響應和零狀態(tài)響應可以 分別 用經(jīng)典法求解。 解 ： 特征方程為 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根 λ1=λ2= – 2，其齊次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解為 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解為 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2, k≥0 代入初始條件解得 C1=1 , C2= – 1/4 LTI離散系統(tǒng)的響應 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 38頁 ■ 電子教案 例 2： 若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始條件 y(0)=0， y(1)= – 1；激勵 f(k)=2k， k≥0。 P87表 32列出了幾種典型得 f(k)所對應的特解 yp(k)。 表 3 1 不 同 特 征 根 所 對 應 的 齊 次 解?特 征 根r 重 實 根12ja j b e ??? ???，一 對 共 軛 復 根＝r 重 共 軛 復 根()hyk齊 次 解kC ?121 2 1 0()r r krrC k C k C k C ????? ? ? ? ?[ c o s( ) sin ( ) ] c o s( )kkC k D k A kC jD?? ? ? ? ? ?????j或其 中 Ae121 1 2 2 0 0[ c o s( ) c o s( ) c o s( ) ]k r rr r r rA k k A k k A k? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?單 實 根信號與系統(tǒng) 169。 （齊次解的函數(shù)形式見 P87表 31） 信號與系統(tǒng) 169。齊次解用 yh(k)表示，特解用 yp(k)表示，即 y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齊次解 yh(k) 齊次解 是齊次差分方程 y(k) + an1y(k1) + … + a 0y(kn) = 0 的解。 信號與系統(tǒng) 169。 例 1：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始條件 y(0)=0,y(1)=2,激勵 f(k)=2kε(k),求 y(k)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 34頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 2. 差分方程 包含未知序列 y(k)及其各階差分的方程式稱為 差分方程 。本書主要用后向差分，簡稱為 差分 。 1. 差分運算 tttftfttfttfttfttfttt ???????????????????)()(l i m)()(l i m)(l i md)(d000離散信號的變化率有兩種表示形式： kkkfkfkkf???????)1()()1()()1()1()()(???????kkkfkfkkf LTI離散系統(tǒng)的響應 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 32頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 一、差分與差分方程 設有序列 f(k)，則 … ， f(k+2)， f(k+1)， … ， f(k1)，f(k2),… 等稱為 f(k)的 移位序列 。信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 31頁 ■ 電子教案 第三章 離散系統(tǒng)的時域分析 LTI離散系統(tǒng)的響應 一、差分與差分方程 二、差分方程的經(jīng)典解 三、零輸入響應 四、零狀態(tài)響應 單位序列和單位序列響應 一、單位序列和單位階躍序列 二、單位序列響應和階躍響應 點擊目錄 ，進入相關(guān)章節(jié) 卷積和 一、卷積和 二、卷積的圖解 三、卷積和的性質(zhì) * 離散系統(tǒng)的算子分析 一、 E算子及方程 二、離散系統(tǒng)的零輸入響應 三、由 H(E)求 h(k) 四、求解零狀態(tài)響應 第三章 離散系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 169。 仿照連續(xù)信號的微分運算，定義離散信號的 差分 運算。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 33頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 （ 1） 一階前向差分定義 ： ?f(k) = f(k+1) –f(k) （ 2） 一階后向差分定義 ： ?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中， ?和 ?稱為差分算子，無原則區(qū)別。 （ 3） 差分的線性性質(zhì) ： ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) （ 4） 二階差分定義 ： ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k1)] = ?f(k) – ?f(k1) = f(k)–f(k1) –[f(k1) –f(k2)]= f(k) –2 f(k1) +f(k2) （ 5） m階差分 : ?mf(k) = f(k) + b1f(k1) +…+ b mf(km) 因此，可定義： 信號與系統(tǒng) 169。將 差分 展開為 移位序列 ，得一般形式 y(k) + an1y(k1) +…+ a 0y(kn) = bmf(k)+…+ b 0f(km) 差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。 解 ： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 注： 一般不易得到解析形式的 (閉合 )解 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 35頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 二、差分方程的經(jīng)典解 y(k) + an1y(k1) +…+ a 0y(kn) = bmf(k)+…+ b 0f(km) 與微分方程經(jīng)典解類似，上述差分方程的解由 齊次解 和 特解 兩部分組成。 yh(k)的函數(shù)形式 由上述差分方程的 特征根 確定。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 36頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 齊次方程 y(k) + an1y(k1) + … + a 0y(kn) = 0 其 特征方程 為 1 + an1λ– 1 + … + a 0λ– n = 0 ，即 λ n + an1λn– 1 + … + a 0 = 0 其根 λi( i = 1， 2， … ， n)稱為差分方程的 特征根 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 37頁 ■ 電子教案 表 3 2 不 同 激 勵 所 對 應 的 特 解()fk激 勵c o s ( ) s in ( )kk?? 或()pyk特 解mkka 11 1 0mmmmP k P k P k P??? ? ? ?11 1 0[]r m mmmk P k P k P k P??? ? ? ?所 有 的 特 征 根 均 不 等 于 1 ；有 r 重 等 于 1 的 特 征 根 ；kPa11 1 0()r r krrP k P k P k P a??? ? ? ?10()kP k P a? a 不 等 于 特 征 根 ；a 等 于 特 征 單 根 ；a 等 于 r 重 特 征 根 ；c os( ) si n( )P k k?? +Qc o s ( )k ??? ? j或 A, 其 中 A e = P + j Qje ??所 有 的 特 征 根 均 不 等 于 LTI離散系統(tǒng)的響應 2. 特解 yp(k) 特解 的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。 信號與系統(tǒng) 169。求方程的全解。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 39頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 三、零輸入響應和零狀態(tài)響應 系統(tǒng)的全響應 y(k)可以分解為零輸入響應 yx(k)和零狀態(tài)響應 yf(k) 。 1010( ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )nmmy k a y k a y k nb f k b f k b f k m??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 已知單輸入 單輸出 LTI離散系統(tǒng)的激勵為 f(k)，其全響應為 y(k)，那么，描述該系統(tǒng)激勵 f(k)與響應 y(k)之間的關(guān)系的數(shù)學模型是 n階常系數(shù)線性差分方程，表示如下： 信號與系統(tǒng) 169。 在零輸入條件下， (1)式可化為 齊次 方程： 10( ) ( 1 ) ( ) 0 ( 2 )x n x xy k a y k a y k n?? ? ? ? ? ?通常，用 y(1)， y(2)， … ， y(n)描述系統(tǒng)的 初始狀態(tài) 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 311頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 2. 零狀態(tài)響應 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由激勵 f(k)引起的響應，稱為 零狀態(tài)響應， 用 yf (k)表示。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 312頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 例 ：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激勵 f(k)=2k , k≥0， 初始狀態(tài) y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系統(tǒng)的零輸入響應 、 零狀態(tài)響應和全響應 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 313頁 ■ 電子教案 LTI離散系統(tǒng)的響應 yf(k) + 3yf(k –1) + 2yf(k –2) = f(k) 初始狀態(tài)： yf(–1)= yf(–2) = 0 遞推求初始值 yf(0), yf(1)， yf(k) = – 3yf(k –1) – 2yf(k –2) + 2k , k≥0 yf(0) = – 3yf(–1) – 2yf(–2) + 1 = 1 yf(1) = – 3yf(0) – 2yf(–1) + 2 = – 1 分別求出齊次解和特解 ， 得 yf(k) = Cf1(–1)k + Cf2(–2)k + yp(k) = Cf1(– 1)k + Cf2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值 求得 Cf1= – 1/3 , Cf2=1 所以 yf(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 （ 2） 零狀態(tài)響應 yf(k) 滿足 信號與系統(tǒng) 169。 離散信號 是離散時間變量 tk（ k為任意整數(shù)）的函數(shù)， 記為 f (tk)。 序列 序列 值 序號 單位序列和單位序列響應 一、單位序列和單位階躍序列 單位序列和單位序列響應 復習 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 316頁 ■ 電子教案 位移單位脈沖序列： 000 0