【正文】 ，對非線性方程采用臺勞級數(shù)展開進(jìn)行線性化，略去高階項(xiàng)，保留一階項(xiàng)，就可得到近似的線性模型。 例如 y=kx是線性元件 輸入 x1?y1輸出 x2?y2 輸入 x1 ＋ x2 ? 對應(yīng)輸出 y1 ＋ y2 ?滿足 疊 加性 k為常數(shù)， kx1?ky1 ?滿足齊次性 所表示的元件為 線性元件 y=kx+b(b為常數(shù) ?0)?線性方程，所表示的元件不是線性元件 . 為什么呢？ 輸入 x1?y1輸出 y1＝ kx1+b x2?y2 y2 =kx2+b 輸入 x1 ＋ x2?輸出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b? y1 +y2不滿足 疊加性 k為常數(shù) :kx1?輸出 y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb ?y?ky1不滿足齊次方程。 線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。r1（ t）時， c（ t） =a 又例如：元件的數(shù)學(xué)模型為： 線性元件???? )()()( txtyty不是線性元件????? btxtyty )()()(元件的數(shù)學(xué)模型為： 非線性元件：不具有疊加性和齊次性的元件稱為非線性元件。 例如 y=kx是線性元件 輸入 x1?y1輸出 x2?y2 輸入 x1 ＋ x2 ? 對應(yīng)輸出 y1 ＋ y2 ?滿足 疊 加性 k為常數(shù)， kx1?ky1 ?滿足齊次性 所表示的元件為 線性元件 y=kx+b(b為常數(shù) ?0)?線性方程，所表示的元件不是線性元件 . 為什么呢？ 輸入 x1?y1輸出 y1＝ kx1+b x2?y2 y2 =kx2+b 輸入 x1 ＋ x2?輸出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b? y1 +y2不滿足 疊加性 k為常數(shù) :kx1?輸出 y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb ?y?ky1不滿足齊次方程。 線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。r1（ t）時， c（ t） =a )()(: tytxf ?)()())()(( 2121 tytytxtxf ???? ??? 非線性元件：不具有疊加性和齊次性的元件稱為非線性元件。 即若 為線性系統(tǒng)，則 ： 不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程表示。 疊加性指當(dāng)幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應(yīng)等于每個激勵單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。 ?定義：如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。這樣受控對象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。 應(yīng)用點(diǎn)評 把傳動系統(tǒng)各部分的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和彈簧剛度歸算到一根軸上，將系統(tǒng)簡化為一個傳動系統(tǒng)模型，根據(jù)牛頓第二定律建立系統(tǒng)的微分方程，是工程上常用的建立系統(tǒng)微分方程的一種方法。 ?機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程 為： )()()()( tFtkxtxftxm ??????s 工程實(shí)例 分析數(shù)控機(jī)床機(jī)械系統(tǒng)的動態(tài)特性 解 : 為了建立微分方程 ， 將各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量 、 質(zhì)量和阻尼系數(shù)歸算到 Ⅰ 軸 。 m k F(t) x(t)位移 阻尼系數(shù) f 阻尼器 彈簧 （一）機(jī)械系統(tǒng) 首先確定：輸入 F(t),輸出 x(t) 其次：理論依據(jù) 物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積 作用力等于反作用力 ,現(xiàn)在我們單獨(dú)取出 m進(jìn)行分析，這里不考慮重力的影響。一個控制系統(tǒng)由若干具有不同功能的元件組成，首先要根據(jù)各個元件的物理規(guī)律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組，然后消去中間變量，即得控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程。 在建模時將會遇到模型簡化與模型精度間的矛盾問題，所以必須對系統(tǒng)全面了解，有了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，才能分析出系統(tǒng)中各部分結(jié)構(gòu)及參數(shù)作用和影響主次，建立一個既簡化又有一定準(zhǔn)確度的適用模型。不能過于簡化，而使數(shù)學(xué)模型變的不準(zhǔn)確，也不能過分追求準(zhǔn)確性，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜。 但實(shí)際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時稱為灰盒，可以分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法一起用，較準(zhǔn)確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 ? 工程實(shí)驗(yàn)法：它是利用系統(tǒng)的輸入 輸出信號來建立數(shù)學(xué)模型的方法。針對具體問題，選擇不同的數(shù)學(xué)模型。 工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學(xué)模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式 ，數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時間變量。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型： 反映系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)）時，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。（是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律、特性和輸入輸出關(guān)系的一個或一組方程式）。 而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型 ， 是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ) 。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ) 。 一 、 數(shù)學(xué)模型 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。機(jī)械工程控制基礎(chǔ) （第二章） 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的微分方程 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化 考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 相似原理 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 數(shù)學(xué)模型的 MATLAB描述 第二 章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的微分方程及線性化方程 拉氏變換及反變換 系統(tǒng)傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖及簡化 * 系統(tǒng)信號流圖 本章要熟悉下列內(nèi)容： 建立基本環(huán)節(jié) （ 質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡(luò) ） 的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化 重要的分析工具：拉氏變換及反變換 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的圖形表示：方框圖及信號流圖 受控機(jī)械對象的數(shù)學(xué)模型 繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方框圖 現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：狀態(tài)空間模型 與上述相關(guān)的應(yīng)用 。 167。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ) 。 數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動態(tài)性能、揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動態(tài)性能之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學(xué)模型。即只考慮同一時刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不管各變量隨時間的演化，輸出信號與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關(guān)。 動態(tài)數(shù)學(xué)模型 ： 描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。 對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價的。 建立數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中最重要的工作！ ?二、建立方法 目前工程上采用的方法主要是 分析計(jì)算法是根據(jù)支配系統(tǒng)的內(nèi)在運(yùn)動規(guī)律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導(dǎo)出輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型 —— 適用于簡單的系統(tǒng)。通常在對系統(tǒng)一無所知的 情況下，采用這種建模方法。實(shí)際控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往是很復(fù)雜的，在一般情況下，常常可以忽略一些影響較小的因素 黑盒 輸入 輸出 來簡 化，但這就出現(xiàn)了一對矛盾，簡化與準(zhǔn)確性。 ? 如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。 三、微分方程的建立 微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，要研究系統(tǒng)的運(yùn)動，必須列寫系統(tǒng)的微分方程。 ?例 求在外力 F(t)作用下，物體的運(yùn)動軌跡。 ? ????maFtxfFtkxF而)()(21m F1(彈簧的拉力 ) F(t)外力 F2阻尼器的阻力 )()()()()()( 21txmtxftkxtFmaFFtFtxa?????????????代入上式得寫微分方程時，常習(xí)慣于把輸出寫在方程的 左邊，輸入寫在方程右邊，而且微分的次數(shù) 由高到低排列 。 （ 1） 每個軸的轉(zhuǎn)動慣量及工作臺質(zhì)量歸算 s（ 2） 傳動剛度歸算 （ 3） 粘性阻尼系數(shù)歸算 機(jī)械傳動系統(tǒng)簡化 為 等效機(jī)械 傳動 系統(tǒng) （ 4） 數(shù)控機(jī)床機(jī)械 傳動 系統(tǒng)微分方程 （ 5） 等效機(jī)械傳動系統(tǒng)以電機(jī)軸轉(zhuǎn)角為輸入量 ， 工作臺位移為輸出量的微分方程 。 質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng) 機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對象是機(jī)械系統(tǒng)。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。 k1J11J12m31m32k122k121k231k232k31k32J3J2m2電動機(jī)減速器工作臺 + 工件k1m1 k121k122m2 k231k232k31k32m31+m32系統(tǒng) 1 系統(tǒng) 3系統(tǒng) 2D1D2D3Ds（二） 電氣系統(tǒng) RC電路 列寫系統(tǒng)微分方程的步驟 （ 1）根據(jù)基爾霍夫定律，可寫出下列原始方程式 （ 2）消去中間變量 和 后，得到系統(tǒng)的微分方程 1i 2iio0o dddd uutuCRCRtuCRCR ???? )(2211222211注意！ 負(fù)載效應(yīng) s電樞控制式直流電動機(jī) s解 ： （ 1） 根據(jù)基爾霍夫定律 建立 電機(jī)電樞回路方程 s（ 2） 根據(jù)牛頓第二定律 建立 電動機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動方程 s（ 3） 電樞電感 L通常較小 ， 若忽略不計(jì) ， 系統(tǒng)的微分方程可簡化為 ad22dd)(dd uKtKKRctRJ mm ?????（ 4） 當(dāng)電樞電感 L， 電阻 R均較小 ， 都忽略不計(jì)時 ， 系統(tǒng)的微分方程進(jìn)一步簡化為 autK ?ddd? dttuCRtu oi )()(??)()( tudttuRCio ??四、 數(shù)學(xué)模型的線性化 ： 滿足 疊加性與齊次性 ，用來描述線性系統(tǒng)。 線性元件：具有疊加性和齊次性的元件稱為線性元件。齊次性指當(dāng)輸入信號乘以某常數(shù)時，響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù)。 用來描述非線性系統(tǒng)。 如果元件輸入為 r（ t）、 r1（ t）、 r2（ t），對應(yīng)的輸出為 c（ t）、 c1（ t）、 c2（ t） 如果 r（ t） =r1（ t） +r2（ t）時， c（ t） =c1（ t）+c2（ t） 滿足疊加性 如果 r（ t） =ac1（ t） 滿足齊次性 滿足疊加性和齊次性的元件才是線性元件。 線性方程不一定滿足疊加性和齊次性。 ?所表示的元件不是線性元件。 如果元件輸入為 r（ t）、 r1（ t）、 r2（ t），對應(yīng)的輸出為 c（ t）、 c1（ t）、 c2（ t） 如果 r（ t） =r1（ t） +r2（ t）時， c（ t） =c1（ t）+c2（ t） 滿足疊加性 如果 r（ t） =ac1（ t） 滿足齊次性 滿足疊加性和齊次性的元件才是線性元件。 線性方程不一定滿足疊加性和齊次性。 ?所表示的元件不是線性元件。 由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實(shí)際意義。設(shè)系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為 簡寫為 。在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動態(tài)特性的分析大為簡化。 ?線性化的方法 （ 1） .忽略弱非線性環(huán)節(jié) （ 如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi) ， 則它們對系統(tǒng)的影響很小 ， 就可以忽略 ） （ 2） .