【正文】 面的傾角不同，所以兩次下滑時(shí)，支持力 N 的方向以及合外力的方向就不同。題中雖然沒(méi)有說(shuō)明，其實(shí)是以甲原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向取為正，這樣才能建立起（ 1）、（ 2）式的具體表達(dá)開(kāi)拓形式，否則定會(huì)得出謬誤的結(jié)果。一旦方向搞錯(cuò)，問(wèn)題不得其解，甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論。因此在處理這類問(wèn)題時(shí)可以（也應(yīng)該）設(shè)定某方向?yàn)檎较颍谜?、?fù)號(hào)來(lái)表示各矢量的方向，這樣就可將以 上的矢量式變成標(biāo)量式（或稱代數(shù)式）。也就是說(shuō)以上兩式均是矢量關(guān)系。 不注意正方向的設(shè)定，往往得出錯(cuò)誤結(jié)果。 這道題若以甲、乙和箱子為研究對(duì)象，可以先求出三個(gè)物體具有相同運(yùn)動(dòng)速度時(shí)的速度，這個(gè)速度即是題解中的 v1 和 v2 ，再選甲和箱子（或箱子和乙）為研究對(duì)象，問(wèn)題就可以解決。為此只能分別選甲、箱子為研究對(duì)象、箱子、乙為研究對(duì)象求解。在全過(guò)程中甲推箱子和乙接箱子中三個(gè)物體組成的系統(tǒng)動(dòng)量也是守恒的。 分析： 如圖，在甲推出箱子的過(guò)程中，甲和箱子組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。若不計(jì)冰面的摩擦力。甲和他的冰車的質(zhì)量共為 M=30kg，乙和它的冰車總質(zhì)量也是 30kg，游戲時(shí)，甲推著一個(gè)質(zhì)量為 m kg?15 的箱子，和他一起以大小為 v m s0 20? . / 的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來(lái)。有 時(shí)在一個(gè)題目中要選不同的物體組作為研究對(duì)象方可求解。取 f為 A、 B間的摩擦力，由動(dòng)能定理可得： 對(duì) B fL Mv Mv? ?12 120 2 2 對(duì) A fl Mv1 0 212 0? ? fl Mv2 212 0? ? 由幾何關(guān)系可知： L l l l? ? ?( )1 2 將以上四式聯(lián)立可得： L M mM l1 4? ? 選擇研究對(duì)象不當(dāng)，往往解法繁雜甚至無(wú)解。 （ 2） A在 B板左端初速度向左， A到 B板右端時(shí)速度向右，可見(jiàn) A 的運(yùn)動(dòng)必經(jīng)歷了向左作勻減速運(yùn)動(dòng)至速度為零，再向右作勻加速運(yùn)動(dòng)至速度為 V這樣兩個(gè)過(guò)程。 解： （ 1） A 沒(méi)有滑離 B 板，則表示最終 A、 B 具有相同的速度，設(shè)該速度為 V ，由動(dòng)量守恒： Mv mv M m V0 0? ? ?( ) 速度大小為 V M mM m v? ?? 盡管木塊在長(zhǎng)木坂上可能是長(zhǎng)時(shí)間滑行，動(dòng)量守恒定律仍適用。 （ 1）若已知 A和 B的初速度大小 v0 ，求它們最后的速度的大小和方向； （ 2）若初速度大小未知，求小木塊 A 向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處（從地面上看）離出發(fā)點(diǎn)的最大距離。 例 5： 如圖所示，一質(zhì)量為 M，長(zhǎng)為 l的長(zhǎng)方形木板 B 放在光滑水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為 m的小木塊 A， m M? 。 解 ：設(shè)汽車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，則由動(dòng)量定理可知： ( ). ( )F mg t m v mvF m v mvt mgN? ? ? ?? ? ? ?? ???6 4 10 3 其實(shí)這道題也可以用動(dòng)能定理來(lái)處理。 分析 ：這個(gè)問(wèn)題用牛頓第二定律來(lái)處理是同學(xué)們非常熟悉的，這個(gè)問(wèn)題也可以用動(dòng)量定理來(lái)解決。開(kāi)足馬力由靜止出發(fā)它在 10秒內(nèi)可加速到 30ms/ 。其實(shí)對(duì)長(zhǎng)時(shí)間的作用仍適用。 關(guān)于碰撞的這種短時(shí)間相互作用的問(wèn)題，在中學(xué)階段除用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律處理外，并沒(méi)有其它更有效的方法。除非有別的能量給予補(bǔ)充（如爆炸、燃燒等），否則鐵塊不會(huì)落在該區(qū)間以外。計(jì)算可知： ?? ??v m vm mm s11 20 67. / 這樣鐵塊的水平射程在機(jī)械能損失最大時(shí)，也最小： s v hgm12033? ?? . 在無(wú)機(jī)械能損失時(shí)，它的水平射程也最大： s v hgm2 22067? ?? . 除這兩種極端的情況下，一般鐵塊的水平射程應(yīng)介于這兩者之間： ≤ s≤ 。為什么小球跟鐵塊相碰后會(huì)以 2ms/ 的速度彈回呢？這主要是因?yàn)樾∏蚝丸F塊的材料特征決定。 碰前系統(tǒng)的機(jī)械能為： E mgl? 1 碰后系統(tǒng)的總機(jī)械能為： ? ? ?E m v m v12 121 1 2 2 2 2 碰 撞過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能的增量為： ? E E Em gl m v m vJ? ? ?? ? ?? ?1 1 122 2212120 48. 確實(shí)有機(jī)械能損失，損失掉的機(jī)械能一般主要轉(zhuǎn)化為物體的內(nèi)能。 m v m v m vv mm v v1 1 1 2 22 121? ?? ?( ) 因?yàn)樾∏蚴潜粡椈氐?，故?v m s1 2?? / ，代入上式可求得 v m s2 12? . / 。 正確解法 ： 根據(jù)機(jī)械能守恒定律，先求小球與鐵塊相碰前的速度 v 。各物理過(guò)程的銜接點(diǎn)都是速度。若光滑桌面距地面高度 h為 ，鐵塊落地點(diǎn)距桌邊的水平距離多大？（ g m s取 10 2/ ） 錯(cuò)解： 有的同學(xué)不顧題目中給出的小球被彈回的物理事實(shí)，自認(rèn)為小球與鐵塊的碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，應(yīng)用已經(jīng)熟知的彈性碰撞的結(jié)果，直接求得鐵塊碰后的速度 ?v2 ，錯(cuò)誤認(rèn)為： ? ? ??v m vm mm s2 11 22133. / 這樣使得最終結(jié)果出現(xiàn)偏大的錯(cuò)誤。將球提起使細(xì)繩處于水平位置時(shí)無(wú)速釋放。從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果。 對(duì)于兩個(gè)物體的正碰問(wèn)題，碰撞前后是這樣的： 彈性碰撞應(yīng)同時(shí)滿足： m v m v m v m vm v m v m v m v1 1 2 2 1 1 2 21 122 221 122 2212121212? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? 經(jīng)解可得唯一的一組解： v m m v m vm mv m m v m vm m11 2 1 2 21 222 1 2 1 11 222? ? ? ??? ? ? ?????????( )( ) 完全非彈性碰撞應(yīng)滿足： ( )m m v m v m v1 2 1 1 2 2? ? ? ? 可得唯一的解： ? ? ??v m v m vm m1 1 2 21 2 對(duì)一般的碰撞只能滿足： m v m v m v m v1 1 2 2 1 1 2 2? ? ? ? ? 最終兩個(gè) 物體的運(yùn)動(dòng)情況是由構(gòu)成物體的自身特征決定，物體材質(zhì)變化時(shí)可能有無(wú)數(shù)種解。它的明顯特征是碰后系統(tǒng)內(nèi)各物體具有相同的 速度。 從能量的角度來(lái)看，碰撞有三種情況。所以在一般情況下不必對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)致的分析就可以認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量是守恒的。 “碰撞”屬于兩個(gè)（或兩個(gè)以上）物體在很短時(shí) 間內(nèi)的一種相互作用。 這道題如果我們選定碰后小球運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎?，并不影響最終的結(jié)果。 ? ?? ? ? 32 得 F mvt??32? 結(jié)論：小球動(dòng)量的增量為 32mv ，方向與小球原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向相反。 設(shè)小球與墻碰撞前的速度方向?yàn)檎?，那么碰后小球的速度??v2 。因?yàn)楹雎粤朔较蛱卣?，?dòng)量和沖量的概念便失去意義，兩個(gè)規(guī)律也就失去了存在的基礎(chǔ)。 分析： 這個(gè)同學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只注意到動(dòng)量和沖量的大小，沒(méi)有注意到它們的方向。 ? ?? 所以 F mvt??2? 他的結(jié)論是小球動(dòng)量減少了 12mv。求：在球與墻的碰 撞過(guò)程中（ 1）小球動(dòng)量的增量 ?P ；（ 2）球?qū)Φ钠骄饔昧?。不注意適用條件，不注意對(duì)問(wèn)題的準(zhǔn)確分析，而是記公式、套公式，這是在學(xué)習(xí)中要不斷克服的。顯然合外力的沖量也是如此。 如圖所示，質(zhì)點(diǎn)在 A點(diǎn)時(shí)初動(dòng)量的方向沿 y軸正方向，在 B點(diǎn)時(shí)末動(dòng)量的方向沿 x軸負(fù)方向，且大小均為 mv 。 來(lái)求得沖量 I。 的適用條件是“恒力”作用。 錯(cuò)解： 既然是求合外力的沖量，就必須知道合外力 F 及作用的時(shí)間 t 。 動(dòng)量（一）專項(xiàng)訓(xùn)練 【錯(cuò)誤分析例題】： 不注意規(guī)律的適用條件。 例 1： 如圖，質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)，以速率 v 在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由 A移動(dòng)到 B做 14 圓弧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求作用在質(zhì)點(diǎn)上合外力的沖量。分析認(rèn)為這里的合外力就是質(zhì)點(diǎn) m 運(yùn)動(dòng)所需的向心力： F mvR? 2 ；而所用的時(shí)間恰是四分之一周期：t T Rv? ?4 2? ，由此得出錯(cuò)誤結(jié)論： I F t m vR Rv mv? ? ?2 2 2? ? 分析： 發(fā)生這種錯(cuò)誤的原因在于不注意 I F t? 在這個(gè)問(wèn)題中既然作用力是向心力，且向心力的方向是不斷改變的，它是變力就不能用 Ft這里只能用動(dòng)量定理來(lái)求這個(gè)變力的沖量。由矢量合成分解的三角形法則可知在這 14 圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量的變化量 ?P 等于 2mv ，且方向沿與 ox 軸成 225? 的方向。 I mv? 2 物理學(xué)中，任何一個(gè)規(guī)律的存在都是有條件的，它的正確性是相對(duì)的。 例 2： 質(zhì)量為 m的球以速度 v運(yùn)動(dòng)，碰墻后以 v2 的速度被反彈回來(lái)，球與墻作用的時(shí)間為 ?t 。 錯(cuò)解： 有的同學(xué)認(rèn)為 P mv P mv? ? ?, 12 那么 ?P P P mv? ? ? ? ? 12 又 F t P墻給球的作用力的大小是 mvt2?， 與運(yùn)動(dòng)方向相反。這一章中所學(xué)的兩個(gè)概念和兩個(gè)規(guī)律都具有突出的矢量特征，認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)是十分重要的。 正確解法： 首先要設(shè)定某個(gè)方向?yàn)檎较颉? 則 ?P P P? ?? ? ? ?? ?1232mv mvmv 由動(dòng)量定理 F t P mv小球在與墻相碰的這段時(shí)間內(nèi)墻給球的平均作用力為 32mvt? ，方向與小球原運(yùn)動(dòng)方向相反。 碰撞過(guò)程中可能有能量損失。對(duì)每一個(gè)物體在極短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了變化，它所受到的另一個(gè)物體施以的作用力（物體系的內(nèi)力）是相當(dāng)大的（這由動(dòng)量定理可以證明），以至于物體系統(tǒng)所受的外力作用效果可以忽略。其實(shí)像爆炸這類短時(shí)間的作用也可以認(rèn)為動(dòng)量是守恒的。其一是碰撞過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能損失，這是一種理想化的碰撞，也稱作彈性碰撞；另一種是碰撞過(guò)程中機(jī)械能損失最大，也稱作完全非彈性碰撞。第三種是一般的碰撞，碰撞過(guò)程中既有機(jī)械能損失，又損失的不是最大。 有的同學(xué)在解題時(shí)，不注意題目給出的物理情景，也不清楚不同類型碰撞所遵循的不同規(guī)律，誤認(rèn)為凡是碰撞都屬于彈性的（都是沒(méi)有機(jī)械能損失的）。 例 3： 如圖所示，長(zhǎng) l為 ，一端固定于 O點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)量 m1 為 。當(dāng)球擺至最低點(diǎn)時(shí)，恰與放在光滑水平桌面邊緣的質(zhì)量 m2 為 1kg 的鐵塊正碰，碰后小球以 2m/s的速度彈回。 分析： 這道 題反映的客觀事實(shí)是有三個(gè)連續(xù)的物理過(guò)程：首先是小球下擺，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉?，所以機(jī)械能守恒；接著是小球與鐵塊相碰，由于作用時(shí)間短暫，故滿足動(dòng)量守恒的條件；最后因?yàn)殍F塊具有了一定的水平初速度，且又只受重力作用，它將作平拋運(yùn)動(dòng)。抓住速度問(wèn)題就可以解決。 m gl m vv glm s1 121224??? / 再運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，求出球與鐵塊相碰后鐵塊的速度 v2 。 由平拋射程公式可求得鐵塊的水平射程： s v hg m? ?2 2 0 6. 其實(shí)通過(guò)這道題提供的數(shù)據(jù)還能計(jì)算出碰撞過(guò)程中機(jī)械能的損失量。 再對(duì)此題進(jìn)行探討。假如兩者是完全的非彈性體，它們碰后會(huì)粘在一起以共同速度 ?v 運(yùn)動(dòng)。本題就是如此。 “動(dòng)量守恒定律”、“動(dòng)量定理”不僅適用于短時(shí)間的作用，也適用于長(zhǎng)時(shí)間的作用。這類問(wèn)題作多了，有 的同學(xué)誤認(rèn)為只有短時(shí)間的作用問(wèn)題才能用這兩條規(guī)律。 例 4： 一輛質(zhì)量為 2噸的汽車在水平公路上行駛時(shí)，它受到的阻力為自重的 。求該汽車在這段加速過(guò)程中的牽引力。即汽車在水平方向所受的總沖量等于汽車動(dòng)量的變化。同學(xué)不妨一試。現(xiàn)以地面為參照系，給 A、 B以大小相等、方向相反的初速度，使 A開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)、 B開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，但最后 A剛好沒(méi)有滑離 B板，以地面為參照系。 分析： 小木塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)，兩者之間存在著相互作用的摩擦力，但以木塊和木板構(gòu)成的系統(tǒng)而言，因?yàn)樗艿暮贤饬榱?，所以滿足動(dòng)量守恒。至于第二問(wèn)則要用到機(jī)械能的有關(guān)問(wèn)題。0 且方向向右。如圖，設(shè) l A1為 減速運(yùn)動(dòng)的路程， l A2為 加速向右運(yùn)動(dòng)的路程， L為全過(guò)程中 B板運(yùn)動(dòng)的路程。 動(dòng)量守恒定律一般以處理物體組（系統(tǒng)）問(wèn)題最善長(zhǎng)，但對(duì)于有三個(gè)或三個(gè)以上物體間相互作用問(wèn)題時(shí)，怎樣確定研究對(duì)象就顯得十分重要了。 例 6： 甲、乙兩個(gè)小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時(shí)乙迅速把它抓住。求甲至少要以多大的速度（相對(duì)于地面）將箱子推出，才能避免與乙相撞。乙接到箱子并和乙一起運(yùn)動(dòng)的過(guò)程