【正文】 物體為對像時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量才守恒。 例 如圖 3所示，小車 A、 B 質(zhì)量均為 M，在 B上掛著質(zhì)量為 M4的小球 C， C相對于 B靜止。在后面的例 5中，當(dāng)小球擺起的過程中，在豎直方向上的動(dòng)量是不守恒的（以向上為正時(shí)系統(tǒng)總動(dòng)量有個(gè)先增后減的過程），但我們可以在水平方向上列出動(dòng)量守恒的方程。可見如果有外力，這個(gè)力即使不做功也會(huì)引起系統(tǒng)動(dòng)量的變化。要選取那些滿足動(dòng)量守恒條件的系統(tǒng)，因此在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律之前，必須對系統(tǒng)進(jìn)行分析，看其是否滿足動(dòng)量守恒 的條件（即不受外力、或外力的合力為零）。而在這些系統(tǒng)中，不見得隨便拿出個(gè)系統(tǒng)來就動(dòng)量守恒，有可能第一種系統(tǒng)動(dòng)量守恒，而第二種系統(tǒng)動(dòng)量就不守恒。 我們在做碰撞演示時(shí)，把時(shí)間拉長了，把物體的位移也增大了，目的是為了能叫大家看到細(xì)節(jié)，千萬不要因此產(chǎn)生“碰撞時(shí)，兩物體都要產(chǎn)生不是十分小的位移”的錯(cuò)誤結(jié)論。 動(dòng)畫 7 在第二過程，即碰撞后重錘 m 和木樁 m 共同下沉的過程，由于在這個(gè)過程中阻力 f 遠(yuǎn)大于重力 G，所以重力可忽略，由動(dòng)能定理得 ? ? ? ? ?fS M m v0 12 2( ) 圖如動(dòng)畫 4 （ 1）本動(dòng)畫圖的動(dòng)畫部分與動(dòng)畫 4相同。 （ 3）翻頁后進(jìn)入動(dòng)畫 6。 （ 4） (5)、 (6)、 (7)與動(dòng)畫了的第 (4)、 (5)、 (6)、 (7)相同，只是把動(dòng)畫 3的說明 (4)中的“第二過程”改為“ 第一過程” （ 8）翻頁后進(jìn)入動(dòng)畫 5。這一過程就是動(dòng)畫（ 3）的第二過程。 （ 8）翻頁后進(jìn)入動(dòng)畫 4。 （ 4）由于在第二過程中重錘下落多，木樁下落少，所以木樁要產(chǎn)生變形，向兩邊胖出來，這個(gè)胖出來的過程應(yīng)是逐步的，最后不宜胖出太多，有點(diǎn)意思即可。 （ 1）此動(dòng)畫可分為兩個(gè)過程，這兩個(gè)過程用動(dòng)畫圖 3所示的三個(gè)狀態(tài)分割，這三個(gè)狀態(tài)應(yīng)在同一豎直方向上，為了能讓制做動(dòng)畫的同志看清楚，我把三個(gè)狀態(tài)錯(cuò)開畫出。 動(dòng)畫 2 為了使大家能看得清楚些，我們把第二過程和第三過程的畫 面放大，用慢鏡頭表現(xiàn)一下。 （ 4）第三過程即為動(dòng)畫 3中所增加的過程，在此動(dòng)畫中第三過程用時(shí) 2 102? ? 秒，下沉距離為 8 102? ? 厘米。 【動(dòng)畫及說明】 動(dòng)畫 1 整個(gè)過程如右圖所示，我們可以把全過程分為三個(gè)過程，第一過程為 m 自由下落過程，第二過程為碰撞過程，第三過程為 m、 M一起下沉過程。這種變化完全由外界條件（ F f G碰撞 ?? ?? ）決定。類似這種情況的還有用錘子釘釘子。有時(shí)會(huì)使運(yùn)算變得簡單很多。 在應(yīng)用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律解題時(shí)，經(jīng)常遇到一些非常大的力的作用。 ∴ mv mv mv1 1 22? ? ? ? 我們已經(jīng)知道 v v1 0? ，且 12 9 121 2 1 2mv m v? ? ? ∴ ???v v1 113 ∴ ? ?? ? ???? ???????????v v vv vvv vv21 10 000 0021321313223( ) ∴ A、 B選項(xiàng)正確。 s 解：在接解過程中應(yīng)用動(dòng)量定理 I I mv mvN G? ? ?2 1 設(shè)向上為正，得 I mgt mv mvN ? ? ?2 1 又因?yàn)橄侣鋾r(shí)是自由落體運(yùn)動(dòng) ∴ v gh12 12? ∴ v m s1 20? / 而上升過程為豎直上拋運(yùn)動(dòng) ∴ h vg2 222? ∴ v m s2 10? / ∴ I mv mv m g tN sN ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 1 1 10 1 20 1 10 140 ( ) ∴ D正確 說明： （ 1）公式 I I mv mvN G? ? ?2 1是矢量式，公式左邊的“ I IN G? ”表示的是矢量 IN 跟矢量 IG的矢量和（即所謂疊加），而公式右邊的 mv mv2 1? 表示的是兩個(gè)矢量的矢量差，所以“＋”和“－”只是表示矢量的相加或相減，并不是表示矢量的正負(fù)。 既然 A? F各選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的，就只有 G選項(xiàng)正確了。 因?yàn)橄禄^程中機(jī)械能守恒，所以兩次滑到底端時(shí)速度的大小相等，所以兩次下滑過程中的平均速度相等（指的是大小相等），但由于 ? ?1 2? 而斜面高度相同，所以第一次下滑的路程長，所以 t t1 2? ，所以兩次下滑過程中也不相等，所以 A選項(xiàng)也是錯(cuò)誤的。又物體的初動(dòng)量為零，所以物體的動(dòng)量的變化就等于物體的末動(dòng)量（也是矢量相等），因此合外力的沖量等于物體的末動(dòng)量（即到達(dá)底端時(shí)的動(dòng)量），因?yàn)閮纱蜗禄瑫r(shí)合外力的沖量不相等，所以兩次下滑時(shí)物體的末動(dòng)量就不相 等。 而沖量是矢量，要想叫兩個(gè)矢量相等（或者說相同）這兩個(gè)矢量必須大小相等并且方向相同，因此兩次下滑過程中支持力的沖量以及合外力的沖量是不相等的，所以 B和 C是錯(cuò)誤的。題中雖然沒有說明，其實(shí)是以甲原來的運(yùn)動(dòng)方向取為正，這樣才能建立起（ 1）、（ 2）式的具體表達(dá)開拓形式，否則定會(huì)得出謬誤的結(jié)果。因此在處理這類問題時(shí)可以（也應(yīng)該）設(shè)定某方向?yàn)檎较?，用正、?fù)號(hào)來表示各矢量的方向，這樣就可將以 上的矢量式變成標(biāo)量式（或稱代數(shù)式）。 不注意正方向的設(shè)定，往往得出錯(cuò)誤結(jié)果。為此只能分別選甲、箱子為研究對象、箱子、乙為研究對象求解。 分析： 如圖，在甲推出箱子的過程中，甲和箱子組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。甲和他的冰車的質(zhì)量共為 M=30kg，乙和它的冰車總質(zhì)量也是 30kg，游戲時(shí)，甲推著一個(gè)質(zhì)量為 m kg?15 的箱子，和他一起以大小為 v m s0 20? . / 的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來。取 f為 A、 B間的摩擦力，由動(dòng)能定理可得： 對 B fL Mv Mv? ?12 120 2 2 對 A fl Mv1 0 212 0? ? fl Mv2 212 0? ? 由幾何關(guān)系可知： L l l l? ? ?( )1 2 將以上四式聯(lián)立可得： L M mM l1 4? ? 選擇研究對象不當(dāng)，往往解法繁雜甚至無解。 解： （ 1） A 沒有滑離 B 板，則表示最終 A、 B 具有相同的速度，設(shè)該速度為 V ，由動(dòng)量守恒： Mv mv M m V0 0? ? ?( ) 速度大小為 V M mM m v? ?? （ 1）若已知 A和 B的初速度大小 v0 ，求它們最后的速度的大小和方向； （ 2）若初速度大小未知，求小木塊 A 向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最遠(yuǎn)處（從地面上看）離出發(fā)點(diǎn)的最大距離。 解 ：設(shè)汽車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，則由動(dòng)量定理可知： ( ). ( )F mg t m v mvF m v mvt mgN? ? ? ?? ? ? ?? ???6 4 10 3 其實(shí)這道題也可以用動(dòng)能定理來處理。開足馬力由靜止出發(fā)它在 10秒內(nèi)可加速到 30ms/ 。 關(guān)于碰撞的這種短時(shí)間相互作用的問題，在中學(xué)階段除用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律處理外，并沒有其它更有效的方法。計(jì)算可知： ?? ??v m vm mm s11 20 67. / 這樣鐵塊的水平射程在機(jī)械能損失最大時(shí)，也最?。? s v hgm12033? ?? . 在無機(jī)械能損失時(shí)，它的水平射程也最大： s v hgm2 22067? ?? . 除這兩種極端的情況下，一般鐵塊的水平射程應(yīng)介于這兩者之間： ≤ s≤ 。 碰前系統(tǒng)的機(jī)械能為： E mgl? 1 碰后系統(tǒng)的總機(jī)械能為： ? ? ?E m v m v12 121 1 2 2 2 2 碰 撞過程中系統(tǒng)機(jī)械能的增量為： ? E E Em gl m v m vJ? ? ?? ? ?? ?1 1 122 2212120 48. 確實(shí)有機(jī)械能損失，損失掉的機(jī)械能一般主要轉(zhuǎn)化為物體的內(nèi)能。 正確解法 ： 根據(jù)機(jī)械能守恒定律，先求小球與鐵塊相碰前的速度 v 。若光滑桌面距地面高度 h為 ，鐵塊落地點(diǎn)距桌邊的水平距離多大？（ g m s取 10 2/ ） 錯(cuò)解： 有的同學(xué)不顧題目中給出的小球被彈回的物理事實(shí)，自認(rèn)為小球與鐵塊的碰撞中無機(jī)械能損失，應(yīng)用已經(jīng)熟知的彈性碰撞的結(jié)果，直接求得鐵塊碰后的速度 ?v2 ，錯(cuò)誤認(rèn)為： ? ? ??v m vm mm s2 11 22133. / 這樣使得最終結(jié)果出現(xiàn)偏大的錯(cuò)誤。從而得出錯(cuò)誤的結(jié)果。它的明顯特征是碰后系統(tǒng)內(nèi)各物體具有相同的 速度。所以在一般情況下不必對系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)致的分析就可以認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量是守恒的。 這道題如果我們選定碰后小球運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎⒉挥绊懽罱K的結(jié)果。 設(shè)小球與墻碰撞前的速度方向?yàn)檎敲磁龊笮∏虻乃俣葹??v2 。 分析： 這個(gè)同學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只注意到動(dòng)量和沖量的大小，沒有注意到它們的方向。求：在球與墻的碰 撞過程中（ 1）小球動(dòng)量的增量 ?P ；（ 2）球?qū)Φ钠骄饔昧?。顯然合外力的沖量也是如此。 來求得沖量 I。 動(dòng)量（一）專項(xiàng)訓(xùn)練 【錯(cuò)誤分析例題】： 不注意規(guī)律的適用條件。分析認(rèn)為這里的合外力就是質(zhì)點(diǎn) m 運(yùn)動(dòng)所需的向心力： F mvR? 2 ；而所用的時(shí)間恰是四分之一周期：t T Rv? ?4 2? ，由此得出錯(cuò)誤結(jié)論： I F t m vR Rv mv? ? ?在這個(gè)問題中既然作用力是向心力，且向心力的方向是不斷改變的，它是變力就不能用 Ft由矢量合成分解的三角形法則可知在這 14 圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量的變化量 ?P 等于 2mv ，且方向沿與 ox 軸成 225? 的方向。 例 2： 質(zhì)量為 m的球以速度 v運(yùn)動(dòng)，碰墻后以 v2 的速度被反彈回來，球與墻作用的時(shí)間為 ?t 。墻給球的作用力的大小是 mvt2?， 與運(yùn)動(dòng)方向相反。 正確解法： 首先要設(shè)定某個(gè)方向?yàn)檎较颉Ｐ∏蛟谂c墻相碰的這段時(shí)間內(nèi)墻給球的平均作用力為 32mvt? ，方向與小球原運(yùn)動(dòng)方向相反。對每一個(gè)物體在極短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生了變化，它所受到的另一個(gè)物體施以的作用力（物體系的內(nèi)力）是相當(dāng)大的（這由動(dòng)量定理可以證明），以至于物體系統(tǒng)所受的外力作用效果可以忽略。其一是碰撞過程中沒有機(jī)械能損失，這是一種理想化的碰撞，也稱作彈性碰撞；另一種是碰撞過程中機(jī)械能損失最大，也稱作完全非彈性碰撞。 有的同學(xué)在解題時(shí)，不注意題目給出的物理情景，也不清楚不同類型碰撞所遵循的不同規(guī)律，誤認(rèn)為凡是碰撞都屬于彈性的（都是沒有機(jī)械能損失的）。當(dāng)球擺至最低點(diǎn)時(shí)，恰與放在光滑水平桌面邊緣的質(zhì)量 m2 為 1kg 的鐵塊正碰，碰后小球以 2m/s的速度彈回。抓住速度問題就可以解決。 由平拋射程公式可求得鐵塊的水平射程： s v hg m? ?2 2 0 6. 其實(shí)通過這道題提供的數(shù)據(jù)還能計(jì)算出碰撞過程中機(jī)械能的損失量。假如兩者是完全的非彈性體，它們碰后會(huì)粘在一起以共同速度 ?v 運(yùn)動(dòng)。 “動(dòng)量守恒定律”、“動(dòng)量定理”不僅適用于短時(shí)間的作用，也適用于長時(shí)間的作用。 例 4： 一輛質(zhì)量為 2噸的汽車在水平公路上行駛時(shí)，它受到的阻力為自重的 。即汽車在水平方向所受的總沖量等于汽車動(dòng)量的變化?，F(xiàn)以地面為參照系，給 A、 B以大小相等、方向相反的初速度，使 A開始向左運(yùn)動(dòng)、 B開始向右運(yùn)動(dòng)，但最后 A剛好沒有滑離 B板，以地面為參照系。至于第二問則要用到機(jī)械能的有關(guān)問題。如圖，設(shè) l A1為 減速運(yùn)動(dòng)的路程， l A2為 加速向右運(yùn)動(dòng)的路程， L為全過程中 B板運(yùn)動(dòng)的路程。 例 6： 甲、乙兩個(gè)小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲。求甲至少要以多大的速度（相對于地面）將箱子推出，才能避免與乙相撞。那么應(yīng)該以哪個(gè)物體組為研究對象呢？若僅以甲、乙和箱子為研究對象顯然無法求得甲推箱子的最小速度。這說明必須選兩組研究對象，這個(gè)問題才能有解。因?yàn)樵谥袑W(xué)物理中僅要求處理同一直線上的作用和運(yùn)動(dòng)問題。讀者看一下例 6的解。因此兩次下滑時(shí)支持力的沖量的方向以及合外力的方向也就不同。即“合外力的沖量”與“物體的動(dòng)量的變化”不但數(shù)值相等，并且方向相同?？上У氖俏覀儏s可以證明 t t1 2? 。同理可以證明 F選項(xiàng)也是錯(cuò)誤的。 s D． 40N 例 質(zhì)量為 m的小球 A，沿光滑水平面以 w1v0 的速度與質(zhì)量為 2m 的靜止小球 B發(fā)生正碰撞，碰撞后 A球的動(dòng)能變?yōu)樵瓉淼?19 ，那么小球 B的速度可能為： A． 130v B． 230v C． 490v D． 590v 解：碰撞過程中 A、 B兩小球系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒?？梢?v v v v1 1 2 0, , ,? ? 顯然都是字母，但它們的意義不同， v v v1 1 2, ,? ? 代表的是三個(gè)矢