【正文】 , . （） 則稱(chēng)為區(qū)間中關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系,為區(qū)間中關(guān)于權(quán)函數(shù)的次正交多項(xiàng)式. （） [1] 證明:三角函數(shù)族在上是正交函數(shù)族(權(quán)). 證明 因?yàn)? 所以三角函數(shù)簇在上是正交函數(shù)族,權(quán).利用正交化方法構(gòu)造出的在上帶權(quán)正交的多項(xiàng)式序列 （） 具有以下性質(zhì)[1]：(1)是最高項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式；(2)任何次多項(xiàng)式均可表示為的線(xiàn)性組合；(3)當(dāng)時(shí),且與任一次數(shù)小于的多項(xiàng)式正交；(4) 在上有個(gè)單根；(5)的根與的根 在上呈交錯(cuò)分布,即 第2章 正交多項(xiàng)式與最佳平方逼近 常用正交多項(xiàng)式及其性質(zhì)正交多項(xiàng)式是數(shù)值計(jì)算中的重要工具,所以本文主要研究的也是連續(xù)型的正交多項(xiàng)式字最佳平方逼近中的應(yīng)用[3]. 勒讓德多項(xiàng)式及其性質(zhì)當(dāng)區(qū)間為[1,1],權(quán)函數(shù)時(shí),由正交化得到的多項(xiàng)式為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式,并用表示[1]. () (Legendre)多項(xiàng)式為 () [1] 正交性 （） 證明 首先證明 即證 當(dāng)時(shí)， 所以 [1] 三項(xiàng)遞推關(guān)系 （） 由此得到Legendre多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)： [1] 奇偶性 （）[1] 零點(diǎn)性質(zhì)的個(gè)零點(diǎn)都是實(shí)的、相異的,且全部在區(qū)間[1,1]內(nèi)部.[1] 極值性質(zhì)在所有最高項(xiàng)系數(shù)為1的次多形式中,Legendre多項(xiàng)式與零的平方誤差最小.證明 首項(xiàng)系數(shù)為1的Legendre多項(xiàng)式： 設(shè)為任意一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的次多項(xiàng)式,它可表示為 由于的正交性,于是 . 第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式及其性質(zhì)當(dāng)區(qū)間為,權(quán)函數(shù)時(shí),由序列 正交化得到的正交多項(xiàng)式就是第一類(lèi)切比雪夫(Chebyshev)多項(xiàng)式[1].它可表示為 （） 若令,當(dāng)在上變化時(shí),對(duì)應(yīng)的在上變化,其可改寫(xiě)成 （）具體表達(dá)式為 （） 是首項(xiàng)系數(shù)為的次多項(xiàng)式. [1] 正交性 () [1] 三項(xiàng)遞推關(guān)系 （） 由此得到第一類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式的前幾項(xiàng)： [1] 奇偶性 . [1] 零點(diǎn)性質(zhì) 在區(qū)間[1,1]上有個(gè)不同的零點(diǎn)： （）[1] 極值性質(zhì) 在[1,1]上有個(gè)不同的極值點(diǎn)： （） 使輪流取到最大值1和最小值1. 第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式及其性質(zhì)在區(qū)間[1,1]上,帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為第二類(lèi)Chebyshev多項(xiàng)式[1],表達(dá)式為 （） [1] 正交性 (） [1] 三項(xiàng)遞推關(guān)系 () 第一類(lèi)與第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式間的關(guān)系： (1) 和都是區(qū)間上的正交多項(xiàng)式系.(2) 對(duì)每個(gè)非負(fù)整數(shù),(奇)數(shù)時(shí),它們是關(guān)于的偶(奇)函數(shù),在寫(xiě)成關(guān)于的多項(xiàng)式時(shí)只有偶(奇)次項(xiàng).(3) 兩類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式間還有如下關(guān)系： 兩類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式可由以下雙重遞歸關(guān)系式中直接得出： 證明的方式是在下列三角關(guān)系式中用代替. 拉蓋爾多項(xiàng)式及其性質(zhì)在區(qū)間[0,]上,帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式[1]，表達(dá)式為 . ()[1] 正交性 （）[1] 三項(xiàng)遞推關(guān)系 . 埃爾米特多項(xiàng)式及其性質(zhì) 在區(qū)間上,帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為Hermite多項(xiàng)式[1]，表達(dá)式為： . （）[1] 正交性 （） [1] 三項(xiàng)遞推關(guān)系 . （） 最佳平方逼近 最佳平方逼近及其正則方程假設(shè)是區(qū)間上的一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)函數(shù)系,為上的一個(gè)權(quán)函數(shù),確定廣義多項(xiàng)式[1] （） 的系數(shù),使 （） 這樣得到的函數(shù)稱(chēng)為在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的最佳平方逼近(函數(shù)).特別,若,則說(shuō)是在上的最佳平方逼近(函數(shù)). 根據(jù)微分學(xué)中極值存在的必要條件可知,欲使()式成立的必須滿(mǎn)足方程組 ， （） 即 ， （） 即 （） 將公式（）代入公式（）中可寫(xiě)成： （） 此線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的,. 其中對(duì)稱(chēng)矩陣 (）為基函數(shù)組 ()那么方程組()可記為 ()稱(chēng)()為最佳平方逼近的正則方程組,其解的存在唯一性取決于度量矩陣G的性質(zhì). 最佳平方逼近的充分性經(jīng)研究確定,由基函數(shù)生成的Gram矩陣非奇異,故正則方程()必定存在唯一的,代入()即得最佳平方逼近函數(shù).由于正則方程是由求極值的必要條件推出的,但是如何確定得到的是最佳平方逼近問(wèn)題的最小解,：對(duì)任意,有 () 下面采用內(nèi)積方法證明. ()因?yàn)?又由()得, 所以.由() .