【正文】 ．??xf?????.,21,??????xff ??xf??2,?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）8對(duì)任意 ，當(dāng) 時(shí)，以 為核構(gòu)造函數(shù)Nn?x??1,?nK ． (24)???dtxtfPnn ??????????332由于 是 次多項(xiàng)式，故 ．所以nK4??knknxttK????????40?，????knnkdtxtf???2其中 是常數(shù)，故而 是一個(gè) 次的多項(xiàng)式．??nk?Pn4令 ，(24)就變?yōu)?xt??? (25)?????dKxfPnn????32由性質(zhì) 2，可得????xPfn???????? ?321xnn dKfdKf ?? = ????xfn??3+ ???dKfn?????????13 ????dKxfnx3323?????????? +?????3?xfn?fn????????13 + ．????dKfnxx3323??????????將上式中最后所得三個(gè)積分依次記為 ．32,1I由于 在 上一致連續(xù)，故對(duì)任意 ，存在 ．當(dāng)??xf??2,?0??0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）9時(shí)必有 ， (26)??2,2121????xx??????21xff所以 ．??????dKIn31設(shè) ，那么????xfMx2,ma???．?????nMdKIn6213???．?Inxx???????????3233 ?????ndKn613??????????所以 ．???xPfn2?因此，對(duì)任意 ，先取定 ，使(26)成立，然后固定 ，再取 充分大就有0????n．證畢．??2??xPfn2．3 Weierstrass 逼近定理的推廣2．3．1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理說明了可以用多項(xiàng)式來逼近 上的連續(xù)函數(shù)，??ba,Weierstrass 第二定理將給出關(guān)于三角多項(xiàng)式和周期連續(xù)函數(shù)的一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論． 設(shè) ，對(duì)任意 ，存在三角多項(xiàng)式 ，使得對(duì)于一切實(shí)數(shù) ，都???2Cxf?0????xTx有 ．其中 表示 上以 為周期的連續(xù)函數(shù)集合．???T?2????,?2也就是說，任何具有周期 的連續(xù)函數(shù)都能用三角多項(xiàng)式一致地逼近．引理 若 ，則對(duì)于任何 ，等式 都成立．????2Cx?a????dxxa???????202引理 對(duì)任何 有下面的恒等式 ．Nn 2!1cos20?ntdn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）10引理 對(duì)于一切實(shí)數(shù)，一致地有 ．??xfVn???lim其中 ， ．???2Cxf???dttfnxVnn 2cos21!??????要想由此推得 Weierstrass 第二定理，只須證明 是一個(gè)三角多項(xiàng)式即??xVn可．為此，我們需要下列引理．定義 若 ，則稱三角多項(xiàng)式0??nba的階為 ． （27）???????kkn xbAxT1sinco引理 兩個(gè)三角多項(xiàng)式的乘積仍為一個(gè)三角多項(xiàng)式，且其階等于兩因子階之和．引理 若三角多項(xiàng)式 為一偶函數(shù)，即 ，則??xT??xT??它可以表示成 的形式，即式中不含倍角的正弦．?????nkaAxT1cos2．3．2 WeierstrassStone 定理 設(shè) 是某個(gè)度量空間中的任意子集，它至少包含兩個(gè)不同的元素，并且在 上E E成立有限覆蓋定理．設(shè)定義在 上的實(shí)函數(shù)系 組成一個(gè)線性空間，且構(gòu)成一E????xp個(gè)環(huán) ，這個(gè)環(huán)包含常數(shù)，且對(duì)于 中任意兩個(gè)不同的元素 ， ，在環(huán) 中存在函Y 12xY數(shù) ，使 ，于是對(duì)于 上定義的任意一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù) ，對(duì)于任??xp??21xp? ??f給 ，在 上存在元素 ，使得有0??．??Expxf???,?利用 Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函數(shù)逼近定理西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）11設(shè) ，則任給 ，存在有理函數(shù) ， 使??????,Cxf 0??????xR， ．??xRf ??x其中 表示分子的次數(shù)不大于分母次數(shù)的全體實(shí)系數(shù)有理函數(shù) 空間．? ??x2．3．3 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理從正面闡述了連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式來逼近的重要性質(zhì)，反之，如果一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)能用多項(xiàng)式逼近，則該函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．定理 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)定義在閉區(qū)間 上的函數(shù) ，如果滿足對(duì) ，??ba,??xf 0???都存在這樣的多項(xiàng)式 ，使不等式??xp ????????xfbax,m成立，那么函數(shù) 必然是連續(xù)函數(shù)．??f由此，我們得到如下結(jié)論，這可以作為 Weierstrass 逼近定理的補(bǔ)充或充要條件．結(jié)論 1 的充分必要條件是: ????baCxf,?對(duì) ，都存在一個(gè)多項(xiàng)式 使不等式 成立．0?????xp????????xfpbax,m結(jié)論 2 函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)或是與一個(gè)連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等的函數(shù)的充分必??xf要條件是:對(duì) ，都存在一個(gè)多項(xiàng)式 使不等式0????xp????????fxpAbax\,m成立．這里 為零測(cè)度集．例 1: 設(shè)函數(shù) 定義在閉區(qū)間 上，且在該區(qū)間上與一個(gè)連續(xù)函數(shù) 幾??xf??ba, ??xf乎處處相等，則西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）12，??0??dxfban?2,1n成立的充分必要條件是 在 上幾乎處處成立．f??,證明： 充分性顯然，只需證明必要性．由條件有 ， ，其中 是 上的零測(cè)度集． 所以??xgf?????Aba\,???ba,0= ?????dxfdxfdf Anbanban ????\, = =?????gxAnAban\, gban因此可得 ，??0?xg,?注意當(dāng) 時(shí)， ，所以 ， ．證畢．??ba\,??xgf???0?xf??Aba\,?注 設(shè)函數(shù) ．則??baCxf,，??0??dfan?2,1n成立的充分必要條件是: ， ．xf??ba,?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）13第 3 章 Bernstein 多項(xiàng)式和 Kantorovich 算子3．1 Bernstein 多項(xiàng)式3．1．1 Bernstein 多項(xiàng)式的定義Bernstein 多項(xiàng)式在函數(shù)逼近論中是一個(gè)古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由 Bernstein 收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢．Bernstein 逼近，就是利用著名的 Bernstein 算子: ????????,00。 S．Bernstein polynomial。西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)摘 要在實(shí)際的應(yīng)用中，經(jīng)常遇到這樣的問題：為解析式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個(gè)多項(xiàng)式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項(xiàng)式來逼近函數(shù)問題的研究本文主要討論了區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的相關(guān)結(jié)論——Weierstrass 逼近定理，是 Weierstrass 于 1885年提出的，這條定理保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項(xiàng)式以任意給定的精度去逼近．通過引用 Bernstein 多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式給出了相應(yīng)的證明．其次列出了 Bernstein 多項(xiàng)式以及由 Bernstein 算子推廣得到的 Kantorovich 算子它們的概念、一些具體的性質(zhì)以及推廣和應(yīng)用． 最后，引進(jìn)推廣到無窮區(qū)間上的 S．Bernstein 多項(xiàng)式，進(jìn)一步研究了無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，并得到了相關(guān)結(jié)論．關(guān)鍵詞： Weierstrass 逼近定理；Bernstein 多項(xiàng)式；Kantorovich 算子；S．Bernstein 多項(xiàng)式；無窮區(qū)間西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Polynomial approximation of continuousfunctions on the interval propertyAbstract：In practical applications， often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more plex function of the analytical formula， and requested the minimum of the error is some kind of metric significance． This is the polynomial approximation function problems．This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions． Firstly， the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation Weierstrass approximation theorem， is weierstrass 1885， which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy． Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof． Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept， some concrete nature as well as the promotion and the application． Finally， the introduction promotes to the infinite sector in the S．Bernstein multinomial， further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial， and obtained the related conclusion．Key words：Weierstrass approximation theorem， Bernstein polynomials。 Kantorovich operator。 infinite interval西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）I目 錄第 1 章 緒論 .........................................