【正文】 ．??xf?????.,21,??????xff ??xf??2,?西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）8對任意 ，當 時，以 為核構(gòu)造函數(shù)Nn?x??1,?nK ． (24)???dtxtfPnn ??????????332由于 是 次多項式，故 ．所以nK4??knknxttK????????40?，????knnkdtxtf???2其中 是常數(shù)，故而 是一個 次的多項式．??nk?Pn4令 ，(24)就變?yōu)?xt??? (25)?????dKxfPnn????32由性質(zhì) 2，可得????xPfn???????? ?321xnn dKfdKf ?? = ????xfn??3+ ???dKfn?????????13 ????dKxfnx3323?????????? +?????3?xfn?fn????????13 + ．????dKfnxx3323??????????將上式中最后所得三個積分依次記為 ．32,1I由于 在 上一致連續(xù)，故對任意 ，存在 ．當??xf??2,?0??0?西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）9時必有 ， (26)??2,2121????xx??????21xff所以 ．??????dKIn31設 ，那么????xfMx2,ma???．?????nMdKIn6213???．?Inxx???????????3233 ?????ndKn613??????????所以 ．???xPfn2?因此，對任意 ，先取定 ，使(26)成立，然后固定 ，再取 充分大就有0????n．證畢．??2??xPfn2．3 Weierstrass 逼近定理的推廣2．3．1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理說明了可以用多項式來逼近 上的連續(xù)函數(shù)，??ba,Weierstrass 第二定理將給出關于三角多項式和周期連續(xù)函數(shù)的一個相應的結(jié)論． 設 ，對任意 ，存在三角多項式 ，使得對于一切實數(shù) ，都???2Cxf?0????xTx有 ．其中 表示 上以 為周期的連續(xù)函數(shù)集合．???T?2????,?2也就是說，任何具有周期 的連續(xù)函數(shù)都能用三角多項式一致地逼近．引理 若 ，則對于任何 ，等式 都成立．????2Cx?a????dxxa???????202引理 對任何 有下面的恒等式 ．Nn 2!1cos20?ntdn?西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）10引理 對于一切實數(shù)，一致地有 ．??xfVn???lim其中 ， ．???2Cxf???dttfnxVnn 2cos21!??????要想由此推得 Weierstrass 第二定理，只須證明 是一個三角多項式即??xVn可．為此，我們需要下列引理．定義 若 ，則稱三角多項式0??nba的階為 ． （27）???????kkn xbAxT1sinco引理 兩個三角多項式的乘積仍為一個三角多項式，且其階等于兩因子階之和．引理 若三角多項式 為一偶函數(shù)，即 ，則??xT??xT??它可以表示成 的形式，即式中不含倍角的正弦．?????nkaAxT1cos2．3．2 WeierstrassStone 定理 設 是某個度量空間中的任意子集，它至少包含兩個不同的元素，并且在 上E E成立有限覆蓋定理．設定義在 上的實函數(shù)系 組成一個線性空間，且構(gòu)成一E????xp個環(huán) ，這個環(huán)包含常數(shù)，且對于 中任意兩個不同的元素 ， ，在環(huán) 中存在函Y 12xY數(shù) ，使 ，于是對于 上定義的任意一個實連續(xù)函數(shù) ，對于任??xp??21xp? ??f給 ，在 上存在元素 ，使得有0??．??Expxf???,?利用 Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函數(shù)逼近定理西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）11設 ，則任給 ，存在有理函數(shù) ， 使??????,Cxf 0??????xR， ．??xRf ??x其中 表示分子的次數(shù)不大于分母次數(shù)的全體實系數(shù)有理函數(shù) 空間．? ??x2．3．3 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理從正面闡述了連續(xù)函數(shù)可以用多項式來逼近的重要性質(zhì)，反之，如果一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)能用多項式逼近，則該函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．定理 在實數(shù)范圍內(nèi)，對定義在閉區(qū)間 上的函數(shù) ，如果滿足對 ，??ba,??xf 0???都存在這樣的多項式 ，使不等式??xp ????????xfbax,m成立，那么函數(shù) 必然是連續(xù)函數(shù)．??f由此，我們得到如下結(jié)論，這可以作為 Weierstrass 逼近定理的補充或充要條件．結(jié)論 1 的充分必要條件是: ????baCxf,?對 ，都存在一個多項式 使不等式 成立．0?????xp????????xfpbax,m結(jié)論 2 函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)或是與一個連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等的函數(shù)的充分必??xf要條件是:對 ，都存在一個多項式 使不等式0????xp????????fxpAbax\,m成立．這里 為零測度集．例 1: 設函數(shù) 定義在閉區(qū)間 上，且在該區(qū)間上與一個連續(xù)函數(shù) 幾??xf??ba, ??xf乎處處相等，則西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）12，??0??dxfban?2,1n成立的充分必要條件是 在 上幾乎處處成立．f??,證明： 充分性顯然，只需證明必要性．由條件有 ， ，其中 是 上的零測度集． 所以??xgf?????Aba\,???ba,0= ?????dxfdxfdf Anbanban ????\, = =?????gxAnAban\, gban因此可得 ，??0?xg,?注意當 時， ，所以 ， ．證畢．??ba\,??xgf???0?xf??Aba\,?注 設函數(shù) ．則??baCxf,，??0??dfan?2,1n成立的充分必要條件是: ， ．xf??ba,?西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）13第 3 章 Bernstein 多項式和 Kantorovich 算子3．1 Bernstein 多項式3．1．1 Bernstein 多項式的定義Bernstein 多項式在函數(shù)逼近論中是一個古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由 Bernstein 收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢．Bernstein 逼近，就是利用著名的 Bernstein 算子: ????????,00。 S．Bernstein polynomial。西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)摘 要：在實際的應用中，經(jīng)常遇到這樣的問題：為解析式子比較復雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最?。@就是用多項式來逼近函數(shù)問題的研究本文主要討論了區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)．首先給出了在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的相關結(jié)論——Weierstrass 逼近定理，是 Weierstrass 于 1885年提出的，這條定理保證了閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)都能用多項式以任意給定的精度去逼近．通過引用 Bernstein 多項式和切比雪夫多項式給出了相應的證明．其次列出了 Bernstein 多項式以及由 Bernstein 算子推廣得到的 Kantorovich 算子它們的概念、一些具體的性質(zhì)以及推廣和應用． 最后，引進推廣到無窮區(qū)間上的 S．Bernstein 多項式，進一步研究了無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)，并得到了相關結(jié)論．關鍵詞： Weierstrass 逼近定理；Bernstein 多項式；Kantorovich 算子；S．Bernstein 多項式；無窮區(qū)間西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）Polynomial approximation of continuousfunctions on the interval propertyAbstract：In practical applications， often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more plex function of the analytical formula， and requested the minimum of the error is some kind of metric significance． This is the polynomial approximation function problems．This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions． Firstly， the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation Weierstrass approximation theorem， is weierstrass 1885， which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy． Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof． Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept， some concrete nature as well as the promotion and the application． Finally， the introduction promotes to the infinite sector in the S．Bernstein multinomial， further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial， and obtained the related conclusion．Key words：Weierstrass approximation theorem， Bernstein polynomials。 Kantorovich operator。 infinite interval西安石油大學本科畢業(yè)設計（論文）I目錄第 1 章 緒論 ...........................................