【正文】 的最小值與最大值之間．利用均差的記號， （35）右邊的?123,xBernstein系數(shù)可以寫為 ，211,iiiifnn???????????????從二階均差的性質(zhì)可知，有一點 ， 以及 ， 使得,ii????????,2n??0??1n?11iiiifffnnn???????????????????， ．??21iiif?????????01in?則， （35 ）可以改寫為西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）19 （310）????1。nnBfxfx????1 120n ini ifBx?? ???????????觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，如果在它的右邊用 來代替 ，那么除了一個數(shù)量因子1ini之外便是 的 次 Bernstein 多項式．這里我們指出，在 n 無限增??1xfx??1n?大至無窮的過程中，這種代替對于極限函數(shù)是沒有影響的，事實上，由于對 都成立，由 在 上的一致連續(xù)性，存在：1in????0,1in???f???0,1使得，對任何 ，則有N??N? ， (311)??1iiffn?????????????其中 為任意給定的正數(shù)．因此，當(dāng) 時? N?????1 101n ii ni iffBx?? ?????????????????????????1 10n ii ni iff? ?????????????????．????11100nni ini iBxx????????將（310 ）改寫為 ????211。nnfxxf????? ，?1 10 ii ni iffB?? ????????????????????上式右端的第一項將隨 而趨向于 ，第二項趨于零．則得到n????xf????21lim。nnBffx?? ???西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）20由于條件（37） ，由上式可得對 ， 成立．由此可知??0,1x???0xf?????fx?在 上是非負的，因此 f 是凸函數(shù)． 證畢．??0,13．2 Kantorovich 算子3．2．1 Kantorovich 算子的定義 在逼近問題中，對于不同的目標(biāo)函數(shù)，采用的逼近算子也有所不同，Kantorovich 算子是 Bernstein 算子的一種推廣． 在討論函數(shù)逼近問題時，所逼近的目標(biāo)函數(shù)往往僅為 Lebesgue 可積的．這時通常采用的是 Kantorovich 算子． 設(shè) ， ，Kantorovich 算子定義為：??0,1fL?,x， ， (312)????????10。 knnknnkKffxftd?????????????n??并且有 ．1nKDBS?其中，D 是微分算子，S 是定積分算子，即 ， ．??:0,1,LC???0xSffzd??由此，可以把 Bernstein 算子的一些性質(zhì)傳遞到 Kantorovich 算子．觀察 Bernstein 算子，可以發(fā)現(xiàn)將其中的 換為區(qū)間 上的值kfn??????1,kn???????，就可以得到 Kantorovich 算子．????111knknknftdftd??????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）213．2．2 Kantorovich 算子的性質(zhì)特別的，當(dāng) 時，Kantorovich 算子具有如下性質(zhì)：??0,1fC?性質(zhì) 若 f 在 上單調(diào)，則 也在 上單調(diào)．,??nKfx??0,1性質(zhì) 為凹連續(xù)模 【9】 ，滿足??1h? ， ，??1,fhf????0,1h?則對于一切 有1n? ， ．????1,2,nKfhf???0,1h性質(zhì) 設(shè) ，對于一切 成立??0,1fC?? ， ．????,4,nfhf????0,1h?若 為凹連續(xù)模，則有??,fh? ， ．????,2,nKfhf???0,1h性質(zhì) 若 f 是 Lipschitz 函數(shù)，則對于一切 ， 也是 Lipschitz 函數(shù)．n?nKf3．2．3 Lebesgue 可積函數(shù)的 Kantorovich 算子逼近先考慮 Kantorovich 算子對連續(xù)函數(shù)的逼近情況，有下面定理成立．定理 3．4 設(shè) ，????0,1fxC?，??????10。 knnknkKfxftd????????????那么對于任意給定的 ，總可以找到一個充分大的 ，使得當(dāng) 時，恒??Nn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）22有， 成立．??。nKfx?????0,1x?然而，只有當(dāng)目標(biāo)函數(shù)僅為 Lebesgue 可積時，Kantorovich 算子的作用才能真正的得以發(fā)揮．考慮空間 內(nèi)的可測函數(shù) ，即 存在．對于任意????0,1pLp???fx??10pfxd?的 ，它們之間的距離定義為 ．,pfg?110pfgfg???并且有 Minkowski 不等式成立，??????11112120 00pppfxfdxfxdfxd??????2,pfL?以及， ， ， ，????1111000pqfgdxfdxgdx???pfL?qg1p??若 ，上式可化為p? ????11100maxpfgdxfdg?? 如果 ， ，那么，我們說 強收斂于 ．nf??n?nff所以，對于 ，Kantorovich 算子強收斂于 ．pfL??f 定理 3．5 設(shè) 是緊的，對 ，????0,1p??f???????10。 knnknkKfxxftd????????????則對任意給定的 ，總可以找到一個充分大的 ，使得當(dāng) 時，存在 上0??Nn???0,1西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）23具有緊支集的連續(xù)函數(shù) ，有??gx， ， ． (313)????110pn nKgxfKfxd??????； ； ??0,1x?p?3．2．4 加權(quán)的 Kantorovich 算子 在這些 Kantorovich 算子逼近性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們可以對 Kantorovich 算子進行推廣，從而得到加權(quán)的 Kantorovich 算子．函數(shù) 的積分 可以看成 在 上的平均值，而在某些情形下，??ft??10ftd???ft??0,1考慮 f 的不同的平均值也是很重要的．例如考慮 ，這也是 f 的一種平均，??203ftd?但此時在 中接近于 1 的點與接近于 0 的點上，對 f 求平均時的分量是不同的??,（3 為正規(guī)化常數(shù)） ．這種“偏重”的平均一般用一個“權(quán)”函數(shù) ??:,+[)???來描述，即 f 在 上的加權(quán) 平均為 ．由此，定義加權(quán)的??0,1??10fxd??Kantorovich 算子為： ， ， （314）??????101。 knknknk knftdtKfxx? ???????????????0???,1t? 注 若 ， ， （ ）為與 t 無關(guān)的常數(shù)，則有??kktC??0,t?k,1n??．??。nnKfxf?? 設(shè) （ ）在 上有上界和下界，分別記為 M 和 m，且 ，kt0,1n???0,1 0?則得到下面定理．西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）24 定理 3．6 設(shè) ， 如（ 314）式，那么對于任意給定的????0,1pfxL???。nKfx?，總可以找到一個充分大的 ，使得當(dāng) 時，恒有0??N? ， ， ．??。nfx??????0,1x?p?證明： 。nKf?????????11100 1 pknnk kkknxftfxtdxd??????? ???? ??????? ?????? ??????11100 pknnkkMxftxdtm???? ???? ???? ????? ???? 由定理 3．4 對于任意給定的 ，總可以找到一個充分大的 ，使得當(dāng)???N時，恒成立nN? ， ，????110pn nKfxfKfxfdx??????； ； ??0,1?p? 取 ，則Mm??? ．證畢．??。nMfxm??????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）25第 4 章 S．Bernstein 多項式在無窮區(qū)間上的推廣4．1 無窮區(qū)間上 S． Bernstein 多項式的定義引進推廣到無窮區(qū)間上的 S．Bernstein 多項式的更一般的形式 （41）??????10。 !ppknxpnknxBfef??????????其中 是定義在 上函數(shù)， 為正整數(shù)． 證明了，在 的任一連續(xù)?fx?,?p??fx點 處，有0??00lim。pnBfxf???由于（41 ）式中 是任意的正整數(shù)，故可根據(jù)已知函數(shù) 結(jié)構(gòu)適當(dāng)?shù)倪x擇??fx，使得 的 S．Bernstein 多項式的形式簡單．p??fx西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）264．2 無窮區(qū)間上 S． Bernstein 多項式逼近定理 首先介紹三個引理． 引理 設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，在任一有限區(qū)間上有界， ??fx??0,??為 的連續(xù)點，則對于任意的 ，對任一正整數(shù) 存在 ，使得當(dāng)0x???fx??n0??時，有 ；且對于任意的 ，當(dāng) 時，有0n?????0ffx??0Rx?R? ???0 02nMff????其中 ．????0supxRMf?? 引理 （ ， ）0!kk e??????????0?2??? 引理 對 ，有1? ， ．20exp!3kke?????? ?????????????????? 定理 設(shè)函數(shù) 在 上有定義 ，對每一個 ，在 上有界，??fx?,??0R???,且存在正整數(shù) ，使得當(dāng) 時， ，m???0mfx?那么在 的任一連續(xù)點 處，有??fx0x ．??00li。pnBffx???證明：當(dāng) 時，結(jié)論顯然成立．0x?當(dāng) 時，記，0???110ppkffxn??????????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文）27由于當(dāng) 時， ，于是對于固定的 ，當(dāng) 充分大時，有x?????0mfx?nk ， （ 為常數(shù)）11ppkfnM?????????????因此當(dāng) 充分大時，有k ????110 0! !pk pkppnxnxffn??????????????????由 收斂，于是有 收斂，于是得到??00!mpkpknxM??????100!pkpkxn?????????? ???? ??0100。 !p pkpnxpnk xBfefn????????????????? ??????0100 !p pkpnxkxfe????????????故只需證明 ????010lim!p pkpnxknxe????????????我們有