用平均值定理求某些問題的最值-展示頁
2024-08-22 14:45本頁面
【正文】 (如引例中的函數(shù))最值的命題．(板書) 已知兩個正變數(shù)的積是一個常數(shù)．那么當且僅當這兩個數(shù)相等時，它們的和取最小值．師：類似地，你能否說出求某些函數(shù)最大值的命題呢?生：已知兩個正變數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當且僅當這兩個數(shù)相等時，它們的積取最大值．
(教師板書)師：下面請同學們證明這個命題．生：設(shè)這兩個正變數(shù)為x和y．如果xy＝P(常數(shù))，那么由兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得x+y≥．當且僅當x＝y(tǒng)時，有x+y＝．這就是說，當x＝y(tǒng)時，x+y有最小值．如果x+y＝S(常數(shù))，那么由兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得，即xy≤當且僅當x＝y(tǒng)時，有xy＝．這就是說，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值師：既然已經(jīng)證明了上述命題為真命題，那么我們把它叫做定理1．類似地，由三個正數(shù)的
算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，誰能說出求某些函數(shù)最值的定理2呢?生：定理2 已知三個正變數(shù)和積(和)是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個數(shù)相等時，它們的和(積)取得小(大)值．(投影片2)師：利用這兩個定理，可以解決許多定積或定和條件下，若干個正變量的和或積的極值問題．但是，必須注意使用定理的條件，要注意哪幾個條件?生：注意三個條件．(1)這兩個或三個變數(shù)必須是正變數(shù)；(2)當它們的和是定值時，其積
取得最大值；當它們的積是定值時，其和取最小值；(3)當且僅當這兩個或三個數(shù)相等時，
取“＝”號．師：很好．看來從定理中也反映出現(xiàn)實世界中的量不等是普遍的，絕對的，而相等是局部的，相對的，必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得此類函數(shù)的最值．(三)應用定理例1(板書) 求函數(shù)y＝x+ (x≥0)的最小值，并求相應的x值．師：求兩項和的最小值，可以考慮試用定理1．但是，此函數(shù)具備使用定理1的條件嗎?生：不具備．因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且x與的積也不是常數(shù)．師：能否創(chuàng)造條件?(學生討論)生甲：把函數(shù)變形為y＝(x+1)+ 1，這時，正數(shù)x+1，的積是常數(shù)1，可以用定理1求得這個函數(shù)的最小值．師：使用定理1的條件都具備了嗎?
生乙：當且僅當x+1＝時，這個函數(shù)能夠取得最小值．師：是只要求出方程x+1＝的解x＝0就能保證此函數(shù)能夠最得最小值嗎?生丙：還要注意解出的x＝0是否屬于函數(shù)的定義域．師：這一點也很重要，不容忽視．(教師板演，學生練習，共同完成解題過程)解：y＝x+＝(x+1)+ 1．由x≥0，知x+1＞0，＞0，且(x+1)[文件] [科目] 數(shù)學[年級] 高中[章節(jié)] [關(guān)鍵詞] 平均值/最值/函數(shù)[標題] 用平均值定理求某些問題的最值[內(nèi)容]石景山區(qū)教師進修學校 賈光輝教學目標．，進一步培養(yǎng)學生的觀察能力、分析問題解決問題的能力．．，學生進一步認識現(xiàn)實世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，對學生進行辯證唯物主義教育．教學重點與難點重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及解決有關(guān)的應用問題．難點：注意定理的使用條件，正確地應用平均值定理．教學過程設(shè)計(一)引入新課師：對于某個給出的函數(shù)，要問這個函數(shù)在指定的區(qū)間上有無最值及如何求出是我們經(jīng)常遇到的數(shù)學問題．解決這類問題在初等數(shù)學的范圍內(nèi)并沒有通用的方法，只能解決一些特殊函數(shù)的最值問題．因此，同學們要隨著知識的增加，不斷地總結(jié)一些常用方法．前面，我們學習了不等式的性質(zhì)、證明．不等式與函數(shù)的最值有無聯(lián)系呢?舉個例子．生甲
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