全國卷數(shù)學導數(shù)真題整理-展示頁
2024-08-20 02:34本頁面
【正文】 若=0，即a=﹣，則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴當時，f（x）在（0，1）內(nèi)有兩個零點．當﹣3＜a時，f（x）在（0，1）內(nèi)有一個零點．綜上可得：當或a＜時，h（x）有一個零點；當a=或時，h（x）有兩個零點；當時，函數(shù)h（x）有三個零點．【點評】本題考查了導數(shù)的運算法則、利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題． 2．（2015?新課標II）設函數(shù)f（x）=emx+x2﹣mx．（1）證明：f（x）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；（2）若對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范圍．【分析】（1）利用f′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用f′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，則恒成立問題轉化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．【解答】解：（1）證明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．若m≥0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，則當x∈（﹣∞，0）時，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[﹣1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要條件是即設函數(shù)g（t）=et﹣t﹣e+1，則g′（t）=et﹣1．當t＜0時，g′（t）＜0；當t＞0時，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當t∈[﹣1，1]時，g（t）≤0．當m∈[﹣1，1]時，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；當m＞1時，由g（t）的單調性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．當m＜﹣1時，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]【點評】本題主要考查導數(shù)在求單調函數(shù)中的應用和恒成立在求參數(shù)中的應用．屬于難題，高考壓軸題． 3．（2014?廣西）函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）設a1=1，an+1=ln（an+1），證明：＜an≤．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調性；（Ⅱ）利用數(shù)學歸納法即可證明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），f′（x）=，①當1＜a＜2時，若x∈（﹣1，a2﹣2a），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函數(shù)，若x∈（a2﹣2a，0），則f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，0）上是減函數(shù)，若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．②當a=2時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，③當a＞2時，若x∈（﹣1，0），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上是增函數(shù)，若x∈（0，a2﹣2a），則f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在（0，a2﹣2a）上是減函數(shù)，若x∈（a2﹣2a，+∞），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a=2時，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，當a=3時，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，當x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用數(shù)學歸納法進行證明＜an≤成立，①當n=1時，由已知，故結論成立．②假設當n=k時結論成立，即，則當n=k+1時，an+1=ln（an+1）＞ln（），an+1=ln（an+1）＜ln（），即當n=k+1時，成立，綜上由①②可知，對任何n∈N?結論都成立．【點評】本題主要考查函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，以及利用數(shù)學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大． 4．（2014?新課標II）已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）設g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）＜＜，估計ln2的近似值（）．【分析】對第（Ⅰ）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；對第（Ⅱ）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；對第（Ⅲ）問，根據(jù)第（Ⅱ）問的結論，設法利用的近似值，并尋求ln2，于是在b=2及b＞2的情況下分別計算，最后可估計ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，當且僅當ex=e﹣x即x=0時，f′（x）=0，∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，則g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（ex
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