【正文】 121）其中，u是位移矢量；k是全局剛度矩。眾所周知，柔度是剛度的倒數(shù)，最小化柔度意味著最大化全局剛度。 基于條件拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計響應(yīng)針對基于條件的拓?fù)鋬?yōu)化算法，只能使用應(yīng)變能和體積作為設(shè)計響應(yīng)。比如，已分別對兩個節(jié)點定義了兩個位移響應(yīng)，可再定義兩個位移響應(yīng)的差值作組合響應(yīng)。Abaqus優(yōu)化模塊僅允許對體積、質(zhì)量、慣性矩和重力作“總和”運算。要實現(xiàn)設(shè)計變量唯一標(biāo)量值，必須在優(yōu)化模塊中特別運算，比如對體積的運算只能是“總和”，對區(qū)域應(yīng)力的運算只能是“最大值”，由此可知Abaqus優(yōu)化模塊提供了以下兩種設(shè)計響應(yīng)操作：最大值或最小值：尋找出選定區(qū)域內(nèi)的節(jié)點響應(yīng)值的最大/最小值，但對應(yīng)力、接觸應(yīng)力和應(yīng)變只能是“最大值”。圖 124 優(yōu)化設(shè)計SOP在圖124 SOP基礎(chǔ)上，還需對關(guān)鍵步（設(shè)計響應(yīng)、目標(biāo)函數(shù)和約束）的設(shè)置詳加說明。 達(dá)到設(shè)定的停止條件。在優(yōu)化迭代（設(shè)計循環(huán)）滿足以下條件即終止： 準(zhǔn)備設(shè)計變量（單元密度或者表面節(jié)點位置），以上設(shè)置完成，進(jìn)入Job模塊創(chuàng)建優(yōu)化進(jìn)程，并提交分析。 優(yōu)化設(shè)計SOP 優(yōu)化設(shè)計SOP先試算Abaqus初始結(jié)構(gòu)模型，以確認(rèn)邊界條件、結(jié)果是否合適，然后結(jié)合圖123的Abaqus/CAE優(yōu)化模塊，設(shè)置優(yōu)化設(shè)計：停止條件（Stop conditions）: 當(dāng)滿足某一停止條件時，優(yōu)化迭代即終止。約束（Constraints）:約束也是從設(shè)計變量中萃取的標(biāo)量值，但其不能從設(shè)計響應(yīng)組合得到。如果設(shè)定目標(biāo)函數(shù)是最小化或最大化設(shè)計響應(yīng)，Abaqus優(yōu)化模塊則加入每個設(shè)計響應(yīng)值到目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計算。目標(biāo)函數(shù)是從設(shè)計響應(yīng)中萃取的標(biāo)量值，如最大位移或最大應(yīng)力。設(shè)計響應(yīng)是與模型區(qū)域緊密相關(guān)的標(biāo)量值，例如一個模型區(qū)域內(nèi)的最大應(yīng)力或體積，同時，設(shè)計響應(yīng)也與特定分析步、載荷工況有關(guān)。設(shè)計響應(yīng)（Design responses）:導(dǎo)入優(yōu)化程序用于優(yōu)化分析的輸入值稱之為設(shè)計響應(yīng)。設(shè)計循環(huán)（Design cycle）:優(yōu)化是一個不斷更新設(shè)計變量的迭代過程，在每次迭代中Abaqus會對更新了變量的模型進(jìn)行求解、查看結(jié)果以及判定是否達(dá)到優(yōu)化目的，一次迭代過程即一個設(shè)計循環(huán)。對于拓?fù)鋬?yōu)化，設(shè)計區(qū)域中單元密度即是設(shè)計變量，Abaqus拓?fù)鋬?yōu)化模塊（ATOM）在其優(yōu)化迭代中改變單元密度并將其耦合到剛度矩陣之中，實質(zhì)是賦予單元極小的質(zhì)量和剛度從而使其幾乎不再參與結(jié)構(gòu)的全局響應(yīng)。在給定的邊界條件、載荷和制造約束條件下，拓?fù)鋬?yōu)化通過增加或刪除設(shè)計區(qū)域內(nèi)單元的材料達(dá)到最優(yōu)化設(shè)計，而形狀優(yōu)化則通過移動表面節(jié)點以修改設(shè)計區(qū)域表面達(dá)到優(yōu)化目的。僅僅描述要減小應(yīng)力或者增大特征值是不夠，必須有更為特定的定義，比如，最小化兩種載荷下的最大節(jié)點應(yīng)力，最大化前5階特征值之和，如此的優(yōu)化目標(biāo)稱之為目標(biāo)函數(shù)（Objective Function）；同時，在優(yōu)化過程中可以強制限定某些特定值，比如可以指定某節(jié)點的位移不超過一定值，如此的強制性限制叫做約束（Constraint）。2. 光順?biāo)惴ㄊ腔趩卧?，比較耗費計算時間，可以只對優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的單元指定網(wǎng)格光順化，同時，光順區(qū)域節(jié)點必須是自由的，不能對其施加約束或凍結(jié)。當(dāng)然也可以凍結(jié)某特定區(qū)域、控制單元尺寸、設(shè)定對稱和耦合限制。比如圖122所示的連桿，其進(jìn)行形狀優(yōu)化，表面節(jié)點移動，應(yīng)力集中降低。目標(biāo)函數(shù)和約束：通用優(yōu)化算法可以使用一個目標(biāo)函數(shù)和數(shù)個約束，這些約束可以全部是不等式限制條件，多種設(shè)計響應(yīng)可以被定義為目標(biāo)和約束，而基于條件的優(yōu)化算法僅支持應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)，材料體積作為等式限制條件。分析類型：通用優(yōu)化算法支持線性、非線性靜力和線性特征頻率分析。優(yōu)化循環(huán)次數(shù)：對于通用優(yōu)化算法，在優(yōu)化開始前并不知曉所需的優(yōu)化循環(huán)次數(shù)，正常情況在30~45次。從以下幾個方面比較兩種算法:中間單元：通用算法對最終設(shè)計會生成中間單元（相對密度介于0~1之間）。相反，基于條件的算法則使用節(jié)點應(yīng)變能和應(yīng)力作為輸入數(shù)據(jù)，不需要計算設(shè)計變量的局部剛度，其更為有效，但能力有限。圖 121 拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)程示例Abaqus拓?fù)鋬?yōu)化提供了兩種算法：通用算法（General Algorithm）和基于條件的算法（Conditionbased Algorithm）。下圖121為Abaqus幫助文件提供的應(yīng)用實例，展示了汽車控制臂在17次迭代循環(huán)中設(shè)計區(qū)域單元被逐漸移除的優(yōu)化過程，其中優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是最小化控制臂的最大應(yīng)變能、最大化控制臂的剛度，約束為降低57%產(chǎn)品體積。 拓?fù)鋬?yōu)化拓?fù)鋬?yōu)化是在優(yōu)化迭代循環(huán)中，以最初模型為基礎(chǔ)，在滿足優(yōu)化約束（比如最小體積或最大位移）的前提下，不斷修改指定優(yōu)化區(qū)域單元的材料屬性（單元密度和剛度），有效地從分析模型中移走單元從而獲得最優(yōu)設(shè)計。Abaqus提供了兩種基于不同優(yōu)化方法的用于自動修改有限元模型的優(yōu)化程序：拓?fù)鋬?yōu)化（Topology optimization）和形狀優(yōu)化（Shape optimization）。從Abaqus module后，借助于其強大的非線性分析能力，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計變得更具可行性和準(zhǔn)確性。 敏感性分析SOP及實例 優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計以數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化理論為基礎(chǔ)，以計算機為手段，根據(jù)設(shè)計所追求的性能目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，在滿足給定的各種約束條件下，優(yōu)化設(shè)計使結(jié)構(gòu)更輕、更強、更耐用。 拓?fù)洹⑿螤顑?yōu)化SOP及實例216。 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)216。工程實際中，加工制造、裝配誤差等造成的設(shè)計參數(shù)變異，會對設(shè)計目標(biāo)造成影響，因此尋找出參數(shù)的影響大小即敏感性，變得尤為重要，故本章后半部分著重講解敏感性分析，并制定操作SOP，輔以工程實例求出設(shè)計參數(shù)敏感度，詳解產(chǎn)品的深層次研究。第12章 優(yōu)化設(shè)計和敏感性分析本章主要講解應(yīng)用Abaqus進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和敏感性分析。目前的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計，大多靠經(jīng)驗，規(guī)劃幾種設(shè)計方案，結(jié)合CAE分析擇優(yōu)選取，但規(guī)劃的設(shè)計方案并不一定是最優(yōu)方案，故本章前半部分講解優(yōu)化設(shè)計中的拓?fù)鋬?yōu)化和形狀優(yōu)化，并制定操作SOP，輔以工程實例詳解。知識要點：216。 拓?fù)洹⑿螤顑?yōu)化理論216。 敏感性分析理論216。在Abaqus ，需要借用第三方軟件（比如Isight、TOSCA）實現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計及敏感性分析，遠(yuǎn)不如Hyperworks及Ansys等模塊化集成程度高。 結(jié)構(gòu)優(yōu)化概述結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一種對有限元模型進(jìn)行多次修改的迭代求解過程，此迭代基于一系列約束條件向設(shè)定目標(biāo)逼近，Abaqus優(yōu)化程序就是基于約束條件，通過更新設(shè)計變量修改有限元模型，應(yīng)用Abaqus進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，讀取特定求解結(jié)果并判定優(yōu)化方向。兩種方法均遵從一系列優(yōu)化目標(biāo)和約束。其主體思想是把尋求結(jié)構(gòu)最優(yōu)的拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為對給定設(shè)計區(qū)域?qū)で笞顑?yōu)材料的分布問題。優(yōu)化過程中，控制臂中部的部分單元不斷被移除。通用拓?fù)鋬?yōu)化算法是通過調(diào)整設(shè)計變量的密度和剛度以滿足目標(biāo)函數(shù)和約束，其較為靈活，可以應(yīng)用到大多數(shù)問題中。兩種算法達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)的途徑不同，Abaqus默認(rèn)采用的是通用算法。相反，基于條件的算法對最終設(shè)計生成的中間單元只有空集（相對密度接近于0）或?qū)嶓w（相對密度為1）?；跅l件的優(yōu)化算法能夠更快的搜索到優(yōu)化解，默認(rèn)循環(huán)次數(shù)為15次。兩種算法均支持幾何非線性、接觸和大部分非線性材料。 形狀優(yōu)化形狀優(yōu)化主要用于產(chǎn)品外形僅需微調(diào)的情況，即進(jìn)一步細(xì)化拓?fù)鋬?yōu)化模型，采用的算法與基于條件的拓?fù)渌惴愃?，也是在迭代循環(huán)中對指定零件表面的節(jié)點進(jìn)行移動，重置既定區(qū)域的表面節(jié)點位置，直到此區(qū)域的應(yīng)力為常數(shù)（應(yīng)力均勻），達(dá)到減小局部應(yīng)力的目的。圖 122 形狀優(yōu)化示例形狀優(yōu)化可以用應(yīng)力和接觸應(yīng)力、選定的自然頻率、彈性應(yīng)變、塑形應(yīng)變、總應(yīng)變和應(yīng)變能密度作為優(yōu)化目標(biāo)，僅能用體積作為約束，但可以設(shè)置幾何限制，以滿足零件制造可行性（沖壓、鑄造等）。注意:1. 在進(jìn)行形狀優(yōu)化之前，優(yōu)化區(qū)域必須具有較好的網(wǎng)格質(zhì)量，優(yōu)化過程中，為了獲得較高質(zhì)量的網(wǎng)格，Abaqus優(yōu)化模塊可以對選定網(wǎng)格進(jìn)行光順，使得內(nèi)外部節(jié)點位置合適。 優(yōu)化術(shù)語拓?fù)浜托螤顑?yōu)化必須在設(shè)定好的目標(biāo)和約束條件下進(jìn)行，如此程序才會在約束框架內(nèi)向優(yōu)化目標(biāo)邁進(jìn)。目標(biāo)函數(shù)和約束都是結(jié)構(gòu)優(yōu)化的特定術(shù)語，Abaqus/CAE中用到的術(shù)語有：設(shè)計區(qū)域（Design area）：即結(jié)構(gòu)優(yōu)化的模型修改區(qū)域，可以是整個模型，也可以是模型的一部分或幾個部分。設(shè)計變量（Design variables）：設(shè)計變量即優(yōu)化設(shè)計中需要改變的參數(shù)。對于形狀優(yōu)化而言，設(shè)計區(qū)域的表面節(jié)點位移即是設(shè)計變量，優(yōu)化時，Abaqus將節(jié)點向外或向內(nèi)移動，抑或不動，限制條件決定表面節(jié)點移動的大小和方向。優(yōu)化任務(wù)（Optimization task）：一個優(yōu)化任務(wù)即包含有設(shè)計響應(yīng)、目標(biāo)、約束條件和幾何限制等在內(nèi)的優(yōu)化定義。，比如剛度、應(yīng)力、特征頻率及位移等，或者對結(jié)果文件計算得到，比如重量、質(zhì)心或相對位移等。目標(biāo)函數(shù)（Objective functions）:即定義的優(yōu)化目標(biāo)。一個目標(biāo)函數(shù)可以由幾個設(shè)計響應(yīng)組成函數(shù)公式表達(dá)。此外，如果定義了多目標(biāo)函數(shù)，可以使用權(quán)重因子定義其對優(yōu)化的影響程度。約束是用于限定設(shè)計響應(yīng)值，比如體積減少50%；同時約束也可以是到獨立于優(yōu)化之外的制造和幾何限制，比如約束優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)能夠用于鑄造或沖壓成形。全局停止條件是最大優(yōu)化迭代（設(shè)計循環(huán)）次數(shù)；局部停止條件是優(yōu)化結(jié)果達(dá)到某一最大/最小定義值。 創(chuàng)建優(yōu)化任務(wù)。 創(chuàng)建設(shè)計響應(yīng)。 應(yīng)用設(shè)計響應(yīng)創(chuàng)建目標(biāo)函數(shù)。 應(yīng)用設(shè)計響應(yīng)創(chuàng)建約束（可選）。 創(chuàng)建幾何限制（可選）。 創(chuàng)建停止條件。圖 123 Abaqus/CAE優(yōu)化模塊提交分析后，優(yōu)化程序基于定義的優(yōu)化任務(wù)及優(yōu)化進(jìn)程，開始優(yōu)化迭代： 更新有限元模型。 執(zhí)行Abaqus/Standard分析。 達(dá)到設(shè)定的最大迭代數(shù)以上操作步驟可概括為圖124所示的優(yōu)化設(shè)計SOP（Standard Operating Procedure）。 設(shè)計響應(yīng)設(shè)置設(shè)計響應(yīng)是從特定的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果中讀取的唯一標(biāo)量值，隨后能夠被目標(biāo)函數(shù)和約束引用?？偤停簩x定區(qū)域內(nèi)節(jié)點的響應(yīng)值作“總和”。此外，可以定義基于另一個設(shè)計響應(yīng)的響應(yīng)，也可以定義由幾個響應(yīng)經(jīng)數(shù)學(xué)運算而成的組合響應(yīng)。下面詳細(xì)介紹在不同優(yōu)化情況下，可用或推薦使用的設(shè)計響應(yīng)。1）應(yīng)變能（Strain energy）：即每個單元應(yīng)變能的總和，可以定義為結(jié)構(gòu)柔度，其是結(jié)構(gòu)整體柔韌性或剛度的一種度量。針對線性模型的結(jié)構(gòu)柔度，可以用式（121）計算。如果加載條件是集中力或壓力，是通過最小化應(yīng)變能優(yōu)化出最大的全局剛度；恰恰相反，如果加載的是熱場，則通過最大化應(yīng)變能優(yōu)化出最大的全局剛度，因為優(yōu)化修改模型會使結(jié)構(gòu)變軟導(dǎo)致應(yīng)變能下降。注意：因為拓?fù)鋬?yōu)化是對全部單元考慮總應(yīng)變能，所以，應(yīng)變能只能作目標(biāo)函數(shù)，而不能作約束。Conditionbased topology task, Design Response224。2）體積（Volume）:即設(shè)計區(qū)域的單元體積之和，可以用式（122）計算。注意：針對絕大多數(shù)優(yōu)化問題，必須定義體積約束。Abaqus/CAE操作:切換到優(yōu)化模塊，Task224。Create: Singleterm, Variable: Volume。1）重心（Center of gravity）：三個方向的重心可以用式（123）計算。注意：優(yōu)化模塊重心計算時，僅統(tǒng)計模塊支持的單元類型，如果模型中含有其不支持的單元類型（比如線單元），結(jié)果會和Abaqus/Standard或Abaqus/Explicit計算結(jié)果有所差別。General topology task, Design Response224。2）位移和旋轉(zhuǎn)（Displacement and Rotation）：大部分優(yōu)化問題，都可使用位移和/或旋轉(zhuǎn)響應(yīng)定義目標(biāo)函數(shù)或約束。表 121 位移和旋轉(zhuǎn)變量位移旋轉(zhuǎn)i方向上絕對值i方向絕對值僅響應(yīng)頂點或較小區(qū)域的位移或旋轉(zhuǎn)，能夠提升優(yōu)化速度，此外，如果響應(yīng)的頂點或區(qū)域是在凍結(jié)區(qū)域內(nèi)，優(yōu)化速度會提升更多。General topology task, Design Response224。3）模態(tài)特征頻率（Modal Eigenfrequency）：模態(tài)特征頻率值是結(jié)構(gòu)分析中最簡單的動態(tài)響應(yīng)。在最大化最低特征頻率時，不僅僅要考慮第一階的特征頻率，還要考慮接下來的幾階，因為在優(yōu)化中，隨著結(jié)構(gòu)的變化，模態(tài)振型可能會發(fā)生轉(zhuǎn)換。General topology task, Design Response224。or Eigenfrequency calculated with KreisselmaierSteinhauser formula。 (124)Abaqus/CAE操作:切換到優(yōu)化模塊，Task224。Create: Singleterm, Variable: Moment of inertia。 形狀優(yōu)化的設(shè)計響應(yīng)針對形狀優(yōu)化，可以使用特征頻率、應(yīng)力、接觸應(yīng)力、應(yīng)變、節(jié)點應(yīng)變能密度和體積作為設(shè)計響應(yīng)，其中僅體積設(shè)計響應(yīng)可被用以約束定義。Abaqus/CAE操作:切換到優(yōu)化模塊，Task 224。 Create:Variable: Eigenfrequency calculated with KreisselmaierSteinhauser formula。應(yīng)力和接觸應(yīng)力設(shè)計響應(yīng)盡可被用作定義目標(biāo)函數(shù)。 Shape task, Design Response224。3）應(yīng)變（Strain）:如果是大變形模型，用應(yīng)力作設(shè)計響應(yīng)就不太合適了，比如金屬結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性變形其塑性區(qū)域的應(yīng)力值幾乎一樣大。Abaqus/CAE操作:切換到優(yōu)化模塊，Task224。Design Res