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線性規(guī)劃的常見題型及其解法教師版題型全歸納好資料-展示頁

2024-08-19 04:44本頁面
  

【正文】 2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值.3.求線性規(guī)劃中的參數(shù).4.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用. 本節(jié)主要講解線性規(guī)劃的常見基礎(chǔ)類題型.【母題一】已知變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的取值范圍為(  )A.[7,23] B.[8,23]C.[7,8] D.[7,25] 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值,間接求出z的最值.【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y得y=-x+,平移直線y=-x知在點(diǎn)B處目標(biāo)函數(shù)取到最小值,解方程組得所以B(2,1),zmin=22+31=7,在點(diǎn)A處目標(biāo)函數(shù)取到最大值,解方程組得所以A(4,5),zmax=24+35=23.【答案】A【母題二】變量x,y滿足(1)設(shè)z=,求z的最小值;(2)設(shè)z=x2+y2,求z的取值范圍;(3)設(shè)z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范圍. 點(diǎn)(x,y)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),=表示點(diǎn)(x,y)和連線的斜率;x2+y2表示點(diǎn)(x,y)和原點(diǎn)距離的平方;x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2表示點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(-3,2)的距離的平方.【解析】(1)由約束條件作出(x,y)的可行域如圖所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).∵z==∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與連線的斜率,觀察圖形可知zmin==.(2)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.∴2≤z≤29.(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的幾何意義是:可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(-3,2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點(diǎn)到(-3,2)的距離中,dmin=1-(-3)=4,dmax==8∴16≤z≤64.1.求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為:一畫二移三求.其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域,理解目標(biāo)函數(shù)的意義.2.常見的目標(biāo)函數(shù)有:(1)截距型:形如z=ax+by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式:y=-x+,通過求直線的截距的最值,間接求出z的最值.(2)距離型:形一:如z=,z=,此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)的距離;形二:z=(x-a)2+(y-b)2,z=x2+y2+Dx+Ey+F,此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)的距離的平方.(3)斜率型:形如z=,z=,z=,z=,此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)所在直線的斜率.【提醒】 注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義.角度一:求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1.(2014高考天津卷)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為(  )A.3 B.4C.18 D.40【解析】作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示 ,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,3)時(shí),z取得最大值18.【答案】C3.(2013高考山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),則直線OM斜率的最小值為(  )A.2 B.1C.- D.-【解析】已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示,顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)直線OM的斜率最小,由直線方程x+2y-1=0和3x+y-8=0,解得A(3,-1),故OM斜率的最小值為-.【解析】C 5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足則z=的取值范圍 .【解】由不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)z==2+的取值范圍可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與(1,-1)所在直線的斜率加上2的取值范圍,由圖形知,A點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),則點(diǎn)(1,-1)與(,1)所在直線的斜率為2+2,點(diǎn)(0,0)與(1,-1)所在直線的斜率為-1,所以z的取值范圍為(-∞,1]∪[2+4,+∞).【答案】(-∞,1]∪[2+4,+∞)6.(2015高考北京卷)設(shè)D為不等式組所表示的平面區(qū)域,區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為________.【解析】作出可行域,如圖中陰影部分所示,則根據(jù)圖形可知,點(diǎn)B(1,0)到直線2x-y=0的距離最小,d==,故最小距離為.【答案】8.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1,平面區(qū)域Ω2與Ω1關(guān)于直線3x-4y-9=0對稱.對于Ω1中的任意點(diǎn)A與Ω2中的任意點(diǎn)B,|AB|的最小值等于(  )A. B.4C. D.2【解析】不等式組,所表示的平面區(qū)域如圖所示,解方程組,得.點(diǎn)A(1,1)到直線3x-4y-9=0的距離d==2,則|AB|的最小值為4.【答案】B 角度三:求線性規(guī)劃中的參數(shù)9.若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+分為面積相等的兩部分,則k的值是(  )A. B.C. D.【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由于直線y=kx+過定點(diǎn).因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí),直線y=kx+能平分平面區(qū)域.因?yàn)锳(1,1),B(0,4),所以AB中點(diǎn)D.當(dāng)y=kx+過點(diǎn)時(shí),=+,所以k=.【解析】A10.(2014高考安徽卷)x,y滿足約束條件若z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)a的值為(  )A.或-1 B.2或C.2或1 D.2或-1【解析】法一:由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),則zA=2,zB=-2a,zC=2a
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