線性規(guī)劃的常見題型及其解法教師版題型全歸納好資料-展示頁
2024-08-19 04:44本頁面
【正文】 2．求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值．3．求線性規(guī)劃中的參數(shù)．4．線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用． 本節(jié)主要講解線性規(guī)劃的常見基礎(chǔ)類題型．【母題一】已知變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的取值范圍為( )A．[7，23] B．[8，23]C．[7，8] D．[7，25] 求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值．【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直線y＝－x知在點(diǎn)B處目標(biāo)函數(shù)取到最小值，解方程組得所以B(2,1)，zmin＝22＋31＝7，在點(diǎn)A處目標(biāo)函數(shù)取到最大值，解方程組得所以A(4,5)，zmax＝24＋35＝23．【答案】A【母題二】變量x，y滿足(1)設(shè)z＝，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍． 點(diǎn)(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，＝表示點(diǎn)(x，y)和連線的斜率；x2＋y2表示點(diǎn)(x，y)和原點(diǎn)距離的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．【解析】(1)由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示．由解得A．由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．∵z＝＝∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與連線的斜率，觀察圖形可知zmin＝＝．(2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝．∴2≤z≤29．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是：可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8∴16≤z≤64．1．求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．2．常見的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如z＝ax＋by．求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值．(2)距離型：形一：如z＝，z＝，此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)的距離；形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)的距離的平方．(3)斜率型：形如z＝，z＝，z＝，z＝，此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)所在直線的斜率．【提醒】 注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義．角度一：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1．(2014高考天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋6y的最大值為( )A．3 B．4C．18 D．40【解析】作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示 ，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,3)時(shí)，z取得最大值18．【答案】C3．(2013高考山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為( )A．2 B．1C．－ D．－【解析】已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)直線OM的斜率最小，由直線方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值為－．【解析】C 5．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝的取值范圍 ．【解】由不等式組畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z＝＝2＋的取值范圍可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與(1，－1)所在直線的斜率加上2的取值范圍，由圖形知，A點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)，則點(diǎn)(1，－1)與(，1)所在直線的斜率為2＋2，點(diǎn)(0,0)與(1，－1)所在直線的斜率為－1，所以z的取值范圍為(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)6．(2015高考北京卷)設(shè)D為不等式組所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為________．【解析】作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B(1,0)到直線2x－y＝0的距離最小，d＝＝，故最小距離為．【答案】8．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1，平面區(qū)域Ω2與Ω1關(guān)于直線3x－4y－9＝0對稱．對于Ω1中的任意點(diǎn)A與Ω2中的任意點(diǎn)B，|AB|的最小值等于( )A． B．4C． D．2【解析】不等式組，所表示的平面區(qū)域如圖所示，解方程組，得．點(diǎn)A(1,1)到直線3x－4y－9＝0的距離d＝＝2，則|AB|的最小值為4．【答案】B 角度三：求線性規(guī)劃中的參數(shù)9．若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是( )A． B．C． D．【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx＋過定點(diǎn)．因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx＋能平分平面區(qū)域．因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D．當(dāng)y＝kx＋過點(diǎn)時(shí)，＝＋，所以k＝．【解析】A10．(2014高考安徽卷)x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為( )A．或－1 B．2或C．2或1 D．2或－1【解析】法一：由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，則zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a
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