【正文】 學(xué)成績。 沒有效率的教育，不是好的教育。認(rèn)識論不能等同于教學(xué)論。隨之，研究性學(xué)習(xí)，問題解決的教學(xué)模式，自主、探究、合作的教學(xué)方法，都在創(chuàng)新的理念下成為教育工作者的自覺行為。在政治體制、經(jīng)濟體制改革取得生重大成功的基礎(chǔ)上，作為上層建筑的教育改革也隨之啟動。 結(jié)論： 中學(xué)課本教材，既要注意保持邏輯思維，又要體現(xiàn)認(rèn)識系統(tǒng)，使之成為兩者結(jié)合的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)課本。 超越束縛，使為了抵達自由王國。當(dāng)然，如果 “ 美女 ” 有病， x光檢查是很管用的，你所看到的只是一副骨架而已，毫無美感可言。 兩個蚊子 ——沒有證據(jù) 香港科技大學(xué)項武義教授曾生動地把數(shù)學(xué)比喻美女西施。不過，轉(zhuǎn)而一想，天下的是事未見得都那么準(zhǔn)確，我們把有些小概率事件就當(dāng)成不可能事件。 教育的起點是謊謬和錯誤，教育的本質(zhì)就是在糾偏，糾錯，再糾錯！ 數(shù)學(xué)名師張乃達老師講了一件實事：有個小販賣韭菜，吆喝說： “ 好韭菜，沒有一根黃的 !”一位行人不聲不響地從把韭菜中挑出一根黃的，質(zhì)問： “ 這是什么 ?” 小販語塞。可是，學(xué)生呢？對教學(xué)而言，再好的數(shù)學(xué)，不滿足學(xué)生的接受心理又有什么變化呢？ 人們總是說，教學(xué)的起點必須嚴(yán)格，第一次教給學(xué)生的概念必須是準(zhǔn)確的，其實怎么可能呢？不難理解，當(dāng)學(xué)生第一次接觸 “ 點 ” 時，一定不是幾何中的點；當(dāng)我們第一次向?qū)W生講“ 函數(shù) ” 時，一定很難避免 “ 當(dāng) x不同時， y也不同 ” 的信息。 “ 對應(yīng) ” 才是函數(shù)的本質(zhì)。 但是豐富的實例會給學(xué)生留下什么呢？會給學(xué)生留下錯覺：變化，可以用一個式子將變化規(guī)律描述出來。而應(yīng)選取具體實例進行該教學(xué)。 案例 : 函數(shù)的教學(xué) 函數(shù)是表現(xiàn)客觀世界變化規(guī)律的重要模型。 正是如此，在我們的課本上和教學(xué)實踐中，才設(shè)置了種種情景，構(gòu)造出了許許多多的模型，從現(xiàn)實需要中抽象出 “ 負(fù)負(fù)得正 ”的規(guī)律。 如為了反映客觀實際的某種數(shù)量關(guān)系而反映的一種數(shù)量關(guān)系，那它的運算法則的規(guī)定，應(yīng)能反映這種數(shù)量關(guān)系，從而解決有關(guān)的實際問題 . 這樣看來，從理論上講，不講為什么，只說 “ 負(fù)負(fù)得正 ” 是一種規(guī)定，讓學(xué)生就記住并運用，是正確的。 ” 數(shù)的運算法則本來是規(guī)定的，而不是推導(dǎo)出來的，先規(guī)定運算法則，然后研究運算定律是否成立。 比如乘法運算的法則 “ 負(fù)負(fù)得正 ” 只是一種規(guī)定。 分類思想： 北大附中張思明老師給出的例子： 桌子上散落著各式各樣的扣子，請同學(xué) 們想一想能把這些扣子分成幾類，分類 的標(biāo)準(zhǔn) 是什么？ 體會：分類的思想：從一個大前提出發(fā) 分類，再進一步細分，但最后都是一樣 的。 對于這樣的問題答案是無所謂對、錯的，只要分類得出的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)一致就可以。 數(shù)據(jù)自己獲取，標(biāo)準(zhǔn)可以自己定，結(jié)論可以自己給。 如圖 ，中間是直角三角形，外面的是銳角三角形，里面是鈍角三角形。核心是直角三角形，它是分水嶺。 而過去的數(shù)學(xué)教學(xué)狀況是幾何直觀講的太少，沒有運動的知識。 世界上本來不存在平面，平面是一種抽象，這種抽象比從數(shù)量抽象到數(shù)還難。 怎么辦？從三維空間感受豐富的幾何世界，建立起生活世界和幾何世界的聯(lián)系，有利于直線概念的形成。如是一直以公理體系推理出發(fā) , 那么必然會影響、扼殺大多數(shù)的學(xué)生的想象力和對數(shù)學(xué)的感受，使幾何入門成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸。 如果一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，也與上述三位名士相伴，會說什么？ 數(shù)學(xué)教師的潛質(zhì)該釋放出什么光芒呢？ 第一部分 數(shù)學(xué)教育與教育數(shù)學(xué) 一、繼承與改革 直線是幾何中的一個抽象概念。 數(shù)學(xué)家不相信感覺，甚至連那些儀器也不相信，數(shù)學(xué)家只相信證明。 藝術(shù)家任憑感覺，感覺的情感色彩是他的生命，于是才有了 “ 飛流直下三千尺，疑是銀河落九天 ” 這樣的詩句。 科學(xué)家雖然驚訝，但比文學(xué)家要理性得多：在云南，某地的一塊草地上，有一只羊是黑的。 讓數(shù)學(xué)教師的潛質(zhì)盡情釋放 南京市寧海分校 卜以樓 三位著名人士：一位文學(xué)家，一位科學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家，結(jié)伴到云南，在一塊草地上，看到一只羊。 文學(xué)家非常驚訝： 哎，云南的羊是黑的。那么數(shù)學(xué)家會怎么說呢？ 數(shù)學(xué)家說：在云南，存在一只羊，至少一半是黑的。 科學(xué)家也有感覺，但與藝術(shù)家的感覺不同，其特點是理性的、客觀的，是抑制主觀感情色彩的。 藝術(shù)的最高權(quán)威是美 ， 科學(xué)的最高權(quán)威是實驗， 數(shù)學(xué)的最高權(quán)威是證明。從數(shù)學(xué)的邏輯來看，當(dāng)然應(yīng)從基本概念出發(fā) ,研究基礎(chǔ)性質(zhì)。這就是數(shù)學(xué)的本來邏輯不適應(yīng)學(xué)生的心理基礎(chǔ)的矛盾。 小孩大都喜歡動畫片，為什么成人卻對此不那么熱衷呢？大概因為那些圖象在小孩眼里是立體的，而在大人看來則是平面的。兒童最先感知的是他們生活的空間，這是一個三維世界，他們觀察的是這個世界中的每一個具體的物體，以及物體之間的位置關(guān)系。比如把三角形分類 :銳角、直角、鈍角三角形。分類不是死的，任何分類幾乎都有個分水嶺，分水嶺研究清楚了就都清楚了。老師要把三邊的關(guān)系教給同學(xué)，在直角三角形中，兩直角的平方和等于斜邊的平方 . 從圖中明顯看出，鈍角三角形中，鈍角兩邊的平方和小于對邊的平方，銳角三角形中的結(jié)果則恰恰相反，這就是余弦定理。 如果發(fā)明創(chuàng)造都是在別人的標(biāo)準(zhǔn)下發(fā) 明創(chuàng)造，這是要吃虧的，我們要突破這 些 . 自己選擇標(biāo)準(zhǔn)給有理數(shù)分類，并與同學(xué)交 流分類的標(biāo)準(zhǔn)與結(jié)果。這種思維是創(chuàng)新的根本。 某電視臺希望了解本地居民喜歡的電視 節(jié)目類型，請同學(xué)們幫助設(shè)計一個調(diào)查問卷 . 三角形全等的判定 北師大教授鐘善基認(rèn)為：我們的數(shù)學(xué)課本的編法也應(yīng)該改變，如原來按邏輯系統(tǒng)編的《 歐氏幾何原本 》 加些數(shù)學(xué)習(xí)題就是數(shù)學(xué)課本，如果去掉習(xí)題，只剩下邏輯系統(tǒng)的論述，課本也就是專著了。 水稻專家袁隆平說 “ 他學(xué)正負(fù)數(shù)時想不清楚這個法則的道理，就去向老師請教，老師說 :“你記住就行了。當(dāng)然，怎樣規(guī)定運算法則，不能是任意的，要看數(shù)學(xué)本身的性質(zhì)。但是數(shù)學(xué)理論上正確的東西，落實到教學(xué)上并不妥當(dāng)，因為它不符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，只是抽象的規(guī)定，而完全沒有現(xiàn)實的東西，對于學(xué)生的發(fā)展是不利的。這種本來是抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，被生活化了，這里的評價標(biāo)準(zhǔn)不是數(shù)學(xué) , 而是數(shù)學(xué)教育！ 規(guī)定既有客觀世界中的實際背景，又有數(shù)學(xué)內(nèi)部需要和諧發(fā)展的思想背景。函數(shù)教學(xué)，不應(yīng)只是關(guān)注對其表達式，定義域和值域的討論。使學(xué)生體會函數(shù)能夠反映客觀事物的變化規(guī)律。 我們知道變化不是函數(shù)的本質(zhì)，用式子表示也不是函數(shù)的本質(zhì)。因此，從邏輯上講，從 “ 集合 “ 出發(fā)來展開函數(shù)的學(xué)習(xí)，才符合學(xué)科的邏輯體系。 正如一位偉人所說：人們認(rèn)識問題一定是從錯誤開始，然后由此轉(zhuǎn)向真理，從錯誤到真理，這是人們認(rèn)識事物的基本規(guī)律，也是教育的基本規(guī)律。 這件事很有趣。日常用語，真的那么嚴(yán)格，趣味、情感、幽默都無從說起了，關(guān)鍵是一個 “ 尺度 ” 問題 。 如果只是把數(shù)學(xué)形式地邏輯演繹一番，那等于是把西施放在 x光下透視。 因此，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是把數(shù)學(xué)有血有肉地表現(xiàn)出來。從必然王國到自由王國，是創(chuàng)新的必由之路；超越束縛，是為了回歸自由狀態(tài)，回到知識得以萌生、形成和發(fā)展的地方，是教學(xué)煥發(fā)生命活力之所在。 20世紀(jì)末，改革是中國社會進步的主旋律。 1990年以來，先把素質(zhì)教育作為社會主義總的教育目標(biāo)，接著，創(chuàng)新成為教育改革的靈魂。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 美國學(xué)者在考察臺灣教育認(rèn)為：建構(gòu)主義只是一種認(rèn)識論。數(shù)學(xué)教學(xué)必須在很短的時間內(nèi)將人類幾千年來積累的數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生很快的取其精華，掌握其基礎(chǔ)的核心部分。注意這里的效率既要考慮長期效率，又要考慮瞬時效率。為什么自己不珍惜，不總結(jié)呢？ ● 雙基的界定 從字面上理解，雙基指 “ 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能 ” 。比如，可以是本學(xué)科的基礎(chǔ)，可以是為其它學(xué)科服務(wù)的基礎(chǔ)，也可以是作為一個未來的公民的基礎(chǔ)。 雙基教學(xué) ——傳統(tǒng)的繼承與發(fā)展 ● 雙基教學(xué)的特征 “ 雙基教學(xué)是注重基礎(chǔ)知識、基本技能教學(xué)和基本能力的培養(yǎng)的，以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以學(xué)法為基礎(chǔ)，注重教法，具有啟發(fā)性、問題驅(qū)動性、示范性、層次性、鞏固性等特征的一種教學(xué)模式。 ● 雙基教學(xué)的理論建構(gòu) 張奠宙先生認(rèn)為雙基教學(xué)的 4個理論特征，即： “ 記憶通向理解，速度贏得效率，嚴(yán)謹(jǐn)形成理性，重復(fù)依靠變式。 ● 雙基教學(xué)的發(fā)展 ——雙基到四基 有研究者提出，在長期的數(shù)學(xué)教育實踐中，我國形成了 “ 基礎(chǔ)知識、基本技能 、基本能力和基本態(tài)度 4個基礎(chǔ)并重的數(shù)學(xué)教學(xué)目的觀 ” 。 史寧中先生提出，要從 “ 雙基 ”