【正文】 他相信觀察與實(shí)驗(yàn)地價(jià)值， 80％的時(shí)間都在作合情推理，卻始終堅(jiān)持證明的必要性。 吃什么永遠(yuǎn)比怎么吃重要 教什么永遠(yuǎn)比怎么教重要 （ 姜伯駒認(rèn)為 :數(shù)學(xué)沒有了解，只有理解 .） ? 設(shè)計(jì)要緊緊圍繞“教學(xué)內(nèi)容” ① 形式服從內(nèi)容 案例 3:分式 ① 形式服從內(nèi)容 ②目標(biāo)設(shè)計(jì)要有側(cè)重 ? 設(shè)計(jì)要緊緊圍繞“教學(xué)內(nèi)容” ? 展開要牢牢抓住“數(shù)學(xué)思考” 把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)化為教育形態(tài)，是所有數(shù)學(xué)教師的責(zé)任。 ” 引導(dǎo)性 華東師大張奠宙教授認(rèn)為： 數(shù)學(xué)的教育目的之一，是要把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形成轉(zhuǎn)化教育形式。但是，僅僅進(jìn)行“教學(xué)法的加工”是不夠的 ?? 教育是大事，未來的高素質(zhì)的勞動(dòng)者、科技工作這、醫(yī)生、工程師、科學(xué)家、詩人和將軍，都是從學(xué)校走出來，數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)提供“最好”的材料。 聯(lián)系性 —— 通過不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與啟發(fā) ,強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用 ,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地思考問題的方式，提高數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)理性精神 。例如用這幾個(gè)條件你能編什么問題？ ⑨ “ 六 W” 的問題： Who？ What？ Why? When ? Where? How?例如啟發(fā)學(xué)生寫有關(guān)植樹節(jié)作文的思路：為什么栽樹？在什么樹？栽在哪里？什么時(shí)候栽？誰來栽？怎么栽？啟發(fā)學(xué)生寫研究論文的提綱：復(fù)數(shù)是誰發(fā)明的？是怎么樣發(fā)明的？為什么要發(fā)明復(fù)數(shù)？用來做什么？什么時(shí)候用？用在哪些地方？ ⑩ “ 類推”的問題： 將兩個(gè)對(duì)象直接 類比，推出新的結(jié)論。列如，假如在多一個(gè)條件，就會(huì) …… ？假如過已知直線外一點(diǎn)可作兩條直線與已知直線平行，那么就推出了 …… ？ ② “ 列舉 ” 的 問題： 列舉出符合某一條件或特性的事、物，越多越好。 原理教學(xué)的本質(zhì) 數(shù)學(xué)中的原理指的是數(shù)學(xué)公式和法則、定理和性質(zhì)。 良好的概念圖式是由一系列反應(yīng)概念本質(zhì)屬性的觀念組成。 默會(huì)知識(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力具有不可代替的作用，“科學(xué)的創(chuàng)新根源于默會(huì)的力量”。它們設(shè)有一個(gè)絕對(duì)的辦法，更多的在于個(gè)體自身的一種領(lǐng)域，因而默會(huì)知識(shí)本質(zhì)上是一種理解能力和領(lǐng)悟能力，同時(shí)存在于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)體驗(yàn)之中。 思維的訓(xùn)練只要靠兩個(gè)能力 :一個(gè)是演 繹能力 ,一個(gè)是歸納能力 .愛因斯坦說過 :西方 科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ) 。 結(jié)論 ：數(shù)學(xué)教育必須在繼承和改革兩個(gè)維度上尋 求平衡點(diǎn)，任何極端的做法都將付出沉重 的代價(jià)。不應(yīng)該讓青年在數(shù)學(xué)學(xué)科里分散注意去搞那么一堆與數(shù)學(xué)無關(guān)的名詞、概念。 情境設(shè)置不僅僅要起到“敲門磚”的作用，而且還應(yīng)當(dāng)隨思維過程中自始自終地發(fā)揮重要的導(dǎo)向作用，即應(yīng)當(dāng)成為相關(guān)學(xué)習(xí)活動(dòng)的“認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)”。因?yàn)橹v平等，讓所有人都有機(jī)會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，因此某些人認(rèn)為必須降低數(shù)學(xué)課程的難度，我國當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課程就出現(xiàn)了降低代數(shù)運(yùn)算和平面幾何推力論證要求的局面 .隨著改革的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)為了使數(shù)學(xué)能被一般大眾所接受而簡單地降低內(nèi)容難度，不但導(dǎo)致大眾數(shù)學(xué)水平的整體下降，而且還是數(shù)學(xué)杰出人才的培養(yǎng)受到極大沖擊。同樣我國的數(shù)學(xué)教育，需要我們釋放自己的教育潛質(zhì)，運(yùn)用我們的教育智慧，遵循規(guī)律，努力實(shí)踐，求得平衡。茶壺內(nèi)有茶山（垢），能夠不放茶葉就有茶香，開價(jià) 5錢，一買主愿出三兩銀子買下，但身邊未帶錢，囑咐老婦等半個(gè)時(shí)辰后取錢再來買，老婦好心，覺得買主肯出大價(jià)錢，應(yīng)該將茶壺用沙子把茶壺的里外洗干凈才好。于是，所有的木屋都裝上了電燈，開始大家說都好，但是數(shù)年后，所有木屋忽然都倒塌了。學(xué)校數(shù)學(xué)的多數(shù)內(nèi)容適合于接受學(xué)習(xí)。 史寧中先生提出，要從 “ 雙基 ” 發(fā)展到“ 四基 ” 。比如，可以是本學(xué)科的基礎(chǔ)，可以是為其它學(xué)科服務(wù)的基礎(chǔ)，也可以是作為一個(gè)未來的公民的基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 美國學(xué)者在考察臺(tái)灣教育認(rèn)為：建構(gòu)主義只是一種認(rèn)識(shí)論。 因此，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是把數(shù)學(xué)有血有肉地表現(xiàn)出來。 正如一位偉人所說：人們認(rèn)識(shí)問題一定是從錯(cuò)誤開始，然后由此轉(zhuǎn)向真理，從錯(cuò)誤到真理，這是人們認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律，也是教育的基本規(guī)律。函數(shù)教學(xué)，不應(yīng)只是關(guān)注對(duì)其表達(dá)式，定義域和值域的討論。 水稻專家袁隆平說 “ 他學(xué)正負(fù)數(shù)時(shí)想不清楚這個(gè)法則的道理，就去向老師請教，老師說 :“你記住就行了。老師要把三邊的關(guān)系教給同學(xué)，在直角三角形中，兩直角的平方和等于斜邊的平方 . 從圖中明顯看出，鈍角三角形中，鈍角兩邊的平方和小于對(duì)邊的平方，銳角三角形中的結(jié)果則恰恰相反，這就是余弦定理。 小孩大都喜歡動(dòng)畫片，為什么成人卻對(duì)此不那么熱衷呢？大概因?yàn)槟切﹫D象在小孩眼里是立體的，而在大人看來則是平面的。 科學(xué)家也有感覺，但與藝術(shù)家的感覺不同，其特點(diǎn)是理性的、客觀的，是抑制主觀感情色彩的。 科學(xué)家雖然驚訝，但比文學(xué)家要理性得多：在云南，某地的一塊草地上，有一只羊是黑的。如是一直以公理體系推理出發(fā) , 那么必然會(huì)影響、扼殺大多數(shù)的學(xué)生的想象力和對(duì)數(shù)學(xué)的感受，使幾何入門成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸。核心是直角三角形，它是分水嶺。 分類思想： 北大附中張思明老師給出的例子： 桌子上散落著各式各樣的扣子，請同學(xué) 們想一想能把這些扣子分成幾類，分類 的標(biāo)準(zhǔn) 是什么？ 體會(huì)：分類的思想：從一個(gè)大前提出發(fā) 分類，再進(jìn)一步細(xì)分，但最后都是一樣 的。 正是如此，在我們的課本上和教學(xué)實(shí)踐中，才設(shè)置了種種情景，構(gòu)造出了許許多多的模型，從現(xiàn)實(shí)需要中抽象出 “ 負(fù)負(fù)得正 ”的規(guī)律。 “ 對(duì)應(yīng) ” 才是函數(shù)的本質(zhì)。 兩個(gè)蚊子 ——沒有證據(jù) 香港科技大學(xué)項(xiàng)武義教授曾生動(dòng)地把數(shù)學(xué)比喻美女西施。在政治體制、經(jīng)濟(jì)體制改革取得生重大成功的基礎(chǔ)上，作為上層建筑的教育改革也隨之啟動(dòng)。 (1) 對(duì)這次課程改革的反思 ①對(duì)我國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)肯定不夠； 陳省身：中國千萬不要學(xué)習(xí)美國的數(shù)學(xué)教育，中國的數(shù)學(xué)教育在實(shí)踐上肯定是比美國好，事實(shí)勝于雄辯，中國好不容易有一項(xiàng)比美國好的數(shù)學(xué)成績。 ” 有的研究者提出了中國雙基教學(xué)理論的外部結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)隱性特征。而發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的先進(jìn)性是能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī)、培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，建立自信，能培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和問題解決能力。杜絕形式主義的低效率的機(jī)械發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。 正如電燈之于木屋，西方的教育理念也許很先進(jìn)，但是未必都適合現(xiàn)代的中國，至于西方的有些觀念，本來就未必十分科學(xué)，我們更應(yīng)該仔細(xì)分析，有所選擇。 國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)分會(huì)報(bào)告。冒進(jìn)固不足取，倒退更沒有出路 。如果不加以說明 ,在實(shí)際教學(xué)中難免會(huì)受到學(xué)生的質(zhì)疑 ,這也使得它“貼近生活”的教學(xué)效果打了較大的折扣 . 牽強(qiáng)附會(huì) 誤區(qū)之二 :偏離實(shí)際 王為峰： 《 初中數(shù)學(xué)公開課的若干思考 》《 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 》 (2022411) “ 同學(xué)們 ,唐僧師徒經(jīng)過九九八十一難取得真經(jīng)后 ,佛祖要獎(jiǎng)勵(lì)他們 ,在獎(jiǎng)勵(lì)之前 ,佛祖再考悟空 .題目是 : 已知 E、 F是平行四邊形 ABCD對(duì)角線 AC上兩點(diǎn) ,并且 AE=CF,求證 :四邊行 ABCD是平行四邊形 .你能替悟空來解答這個(gè)問題嗎 ? ” 教師的問題提出之后 ,多數(shù)同學(xué)并沒有關(guān)心本問題用現(xiàn)有的知識(shí)能否解答 ?如何解答 ?而是談?wù)撈?《 西游記 》 中的有關(guān)故事河人物 ,令執(zhí)行教師十分尷尬 .坐在我附近的一位同學(xué)沒有參與故事的討論 ,我問他 ,你在想什么 ?他說 ,那個(gè)時(shí)候有這樣的問題嗎 ?回答的神情卻好象是說老師在瞎編 .是同學(xué)們對(duì) 《 西游記 》 太感興趣 ?還是老師把悟空和幾何題強(qiáng)行捆在了一起 ?或許二者都有吧 .總之 ,這一“情境的創(chuàng)設(shè)”違背了執(zhí)教者的初衷 . 案例 :在講授“對(duì)稱方法求最短路程”時(shí) ,某教師創(chuàng)設(shè)了這樣的現(xiàn)實(shí)情境 :“ 在一條河的一側(cè)的 B地倉庫著火了 ,住在與倉庫同側(cè)的 A地居民們馬上拿著水桶到河邊提水奔向 B地救火 .請做出居民救火的途徑 .” 接著教師開始引入課題 ?? 案例分析 : 這個(gè)問題看似和古老的“將軍飲馬”問題相同 ,知識(shí)換了不同生活背景 ,于是 ,教師也就當(dāng)然地作為對(duì)稱法解題地問題的情境 .然而不免有學(xué)生會(huì)想 ,該問題應(yīng)首先考慮如何在最短的時(shí)間內(nèi)把火撲滅 ,而不是考慮所走的路程最短 .在現(xiàn)實(shí)生活中 ,人們提著空水桶與提著滿水桶跑的速度一般不同 ,這就影響著人們救火的時(shí)間 .所以說 ,這個(gè)現(xiàn)實(shí)情境與實(shí)際生活并不相符 ,如果人為地強(qiáng)化為“找對(duì)稱點(diǎn)求最短途徑”問題 ,那么定將挫傷部分同學(xué)的學(xué)習(xí)感情 ,同時(shí)也不利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng) . 南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授認(rèn)為： 數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)當(dāng)由“形式的追求”（即重視對(duì)某些新的教學(xué)形式，如合作學(xué)習(xí)與學(xué)生主動(dòng)探究等的積極提倡）轉(zhuǎn)而更為重視相關(guān)的實(shí)質(zhì)問題，并能通過積極的教學(xué)實(shí)驗(yàn)與深入的理論研究不斷取得新的進(jìn)步。 我們以前所學(xué)的數(shù)學(xué)，大代數(shù)也好，平面幾何也好，沒有雜質(zhì)。 ” 兩個(gè)聯(lián)系 啊，前面是動(dòng)詞，后面的聯(lián)系是一個(gè)形容詞。 好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)是以創(chuàng)新為內(nèi)核的數(shù)學(xué)教育創(chuàng)新能力依賴的三個(gè)方面：知識(shí)的掌握；思維的訓(xùn)練；經(jīng)驗(yàn)的積累。這些知識(shí)可以通過文字進(jìn)行表述，因而可以存于書本，并且知識(shí)內(nèi)容之間存在一定的邏輯關(guān)系，并通過這些邏輯關(guān)系組成層次分明、邏輯清晰的知