【正文】 種抽象，這種抽象比從數(shù)量抽象到數(shù)還難。 數(shù)學(xué)家不相信感覺，甚至連那些儀器也不相信，數(shù)學(xué)家只相信證明。 文學(xué)家非常驚訝： 哎，云南的羊是黑的。從數(shù)學(xué)的邏輯來看，當(dāng)然應(yīng)從基本概念出發(fā) ,研究基礎(chǔ)性質(zhì)。比如把三角形分類 :銳角、直角、鈍角三角形。這種思維是創(chuàng)新的根本。但是數(shù)學(xué)理論上正確的東西，落實(shí)到教學(xué)上并不妥當(dāng)，因?yàn)樗环蠈W(xué)生的學(xué)習(xí)心理，只是抽象的規(guī)定，而完全沒有現(xiàn)實(shí)的東西，對于學(xué)生的發(fā)展是不利的。 我們知道變化不是函數(shù)的本質(zhì)，用式子表示也不是函數(shù)的本質(zhì)。日常用語，真的那么嚴(yán)格，趣味、情感、幽默都無從說起了，關(guān)鍵是一個 “ 尺度 ” 問題 。 20世紀(jì)末，改革是中國社會進(jìn)步的主旋律。注意這里的效率既要考慮長期效率，又要考慮瞬時效率。 ● 雙基教學(xué)的理論建構(gòu) 張奠宙先生認(rèn)為雙基教學(xué)的 4個理論特征，即： “ 記憶通向理解，速度贏得效率，嚴(yán)謹(jǐn)形成理性，重復(fù)依靠變式。其局限性是學(xué)生的主動性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性未能充分體現(xiàn)。學(xué)生不一定理解所發(fā)現(xiàn)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)后的同化理解十分必要。不然，好事會變成壞事。 雙基文化、考試文化、華人學(xué)數(shù)學(xué)。進(jìn)兩步，退一步， 還是前進(jìn)了一步。 案 例 :某教師在“隨機(jī)事件的概率”引入課上 ,創(chuàng)設(shè)了如下現(xiàn)實(shí)情境 : 在第二次世界大戰(zhàn)中 ,美國曾經(jīng)宣布 :一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過 10個師的兵力 .這句話有一個非同尋常的來歷 .1943年以前 ,在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國潛艇的襲擊 ,當(dāng)時 ,英美兩國限于實(shí)力 ,無力增派更多的護(hù)衛(wèi)艦 ,一時間 ,德軍德“潛艇”搞得盟軍焦頭爛額 . 為此 ,有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學(xué)家 ,數(shù)學(xué)家運(yùn)用概率分析后認(rèn) 為 ,艦艇與敵潛艇相遇是一個隨機(jī)事件 ,從數(shù)學(xué)的角度來看這一問題 ,它具有一定的規(guī)律性 .建議美軍海軍將艦隊(duì)的編隊(duì)規(guī)模增 大 .美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議 ,命令艦隊(duì)在指定海域集合 ,再集體通過危險海域 ,然后各自駛向預(yù)定的港口 .結(jié)果奇跡出現(xiàn)了 :盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來的 25％ 下降為 1％ ,大大減少了損 失 ,保證了物資的及時供應(yīng) .你知道是什么原因是盟軍艦艇遭襲被擊沉的概率減少嗎 ? 誤區(qū)之一 :科學(xué)錯誤 案例 :“ 冪的意義”的教學(xué)過程中 ,某教師引入了如下的問題情境：探求將一張白紙 ,對折 30次的厚度 (一紙的厚度約為 105m). 案例分析 : 這是一個流傳很廣的現(xiàn)實(shí)問題情境的案例 .當(dāng)時在我心靈上的確受到強(qiáng)烈的震撼 .然而 ,我總有點(diǎn)將信將疑 ,親自動手折紙 ,發(fā)現(xiàn) 不要說對折 30次 ,就是對折六、七次就感覺折不下去了 .紙是有厚度的 ,物理學(xué)原理告訴我們 ,這種對折操作只能進(jìn)行 10次左右 .由于違背了科學(xué)道理 ,這種實(shí)際操作型的現(xiàn)實(shí)情境僅能看成是一種數(shù)學(xué)思想實(shí)驗(yàn) 。我聽說中學(xué)老師對那些名詞都弄不明白，要解釋半天，這種聯(lián)系實(shí)際是讓學(xué)生學(xué)經(jīng)濟(jì)科學(xué)呢，還是學(xué)生產(chǎn)實(shí)際呢？所以不應(yīng)該有雜質(zhì)。 ” “ 數(shù)學(xué)是聯(lián)系聯(lián)系實(shí)際的學(xué)科。這個 出發(fā) 點(diǎn)應(yīng)當(dāng)成為大家公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。 明確知識是回答“是什么”、“為什么”等問題的知識，因而主要是有關(guān)事實(shí)和原理的知識。 明確知識 （ 是什么 ， 為什么 ） 默會知識 （怎么想，怎么做） 存于書本， 可編碼（邏輯性） 可傳遞（共享性） 可反思（批判性） 存于個人經(jīng)驗(yàn) ， 嵌入實(shí)踐活動之中 這個模型既適用于個體也適用于人類全體。 意 會 言 傳 明確知識 明確知識 默會知識 默會知識 內(nèi)化 外顯 張奠宙先生曾經(jīng)說過 :“ 數(shù)學(xué)教學(xué)”的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)。這是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程。原理學(xué)習(xí)不是習(xí)得描述原理的言語信息，而是習(xí) 得原理的產(chǎn)生式，只要條件信息已滿足，相應(yīng)的行為反應(yīng)就自然出現(xiàn)。例如，這個條（元）件可以用什么條（元）件來替代？ ⑤ “ 除了 ” 的問題： 尋求突破常規(guī)想法。不怕做不到，就怕 想不到！ 老年人下去 數(shù)學(xué)教育的出路 人民教育出版社的章建躍博士，在尋求中國數(shù)學(xué)教育出路的征途上，提出了比較理性、具體和切實(shí)可行的方案。但是，方法與內(nèi)容又是緊密聯(lián)系的，肯定了“教什么”，才能研究“怎么教”的問題。 主導(dǎo)性 胡錦濤同志 在 2022年兩 院院士大會上講話提 出 :“ 在尊重教師主導(dǎo)作用的同時 ,更加注重培養(yǎng)學(xué)生的主動精神 .鼓勵學(xué)生的創(chuàng)新的 思維 .” 總書記正面提出“教師的主導(dǎo)作用” ,而且要加以“尊重” ,令人振奮 ,發(fā)人深思 . 教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用 ,是一個客觀的事實(shí) , 教學(xué)內(nèi)容的選擇 ,教學(xué)過程的設(shè)計 ,教學(xué)成果的評價 ,都是教師為主確定的 .杜威倡導(dǎo)的“以學(xué)生為中心” ,搞“教育即生活” ,證明是失敗的，至少不符合中國國情 . 總書記重提“教師主導(dǎo)作用” ,并不是簡單地回到過去 .而是與時俱進(jìn) ,提出了新的要求 ,用“更加注重”四個字強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的主動精神 ,鼓勵學(xué)生的創(chuàng)新思維 .這就為在新時期如何發(fā)揚(yáng)教師主導(dǎo)作用指明了方向 . 實(shí)際上 , 教育的真理并不是在一種事情的兩端 ,而時在中間地帶的某個平衡點(diǎn) .有所調(diào)整是可以的 ,全盤丟棄是不可取的 . 鄭毓信認(rèn)為 :我們不僅應(yīng)當(dāng)積極鼓勵學(xué)生的主動精神 ,而且也應(yīng)明確肯定教師在這一過程中應(yīng)當(dāng)發(fā)揮重要的特定作用 . 著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾 : 沒有一種數(shù)學(xué)的思想，像它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來。他具有后人效仿的歷史價值。 具體體現(xiàn)在四個維度上： ● 課堂教學(xué)過程呈現(xiàn)的素材 —— 顯性素材 是教學(xué)的內(nèi)核．直接體現(xiàn)教學(xué)理念，決 定教學(xué)方法，關(guān)系學(xué)生發(fā)展，影響教學(xué)質(zhì)量． ● 教學(xué)理念 —— 隱形素材 ● 教學(xué)目標(biāo) —— 既是隱形，又是顯形素材 二、數(shù)學(xué)教學(xué)素材的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容 三、教學(xué)素材的特點(diǎn) 1．科學(xué)性 內(nèi)容科學(xué)，表達(dá)精煉，語言簡潔，圖表 規(guī)范，數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確，不出現(xiàn)科學(xué)性、知識 性、技術(shù)性錯誤 . 2．開放性 教學(xué)素材不應(yīng)只局限于教材，而應(yīng)開放的 吸收和組織對教學(xué)所有有用的一切信息和素 材資料．它們在內(nèi)容、空間、形式都具有開 放性 . 三、教學(xué)素材的特點(diǎn) 1．科學(xué)性 2．開放性 3．動態(tài)性 課程，教材內(nèi)容應(yīng)隨政治、經(jīng)濟(jì)、教育宏觀環(huán)境和微觀背景而不斷發(fā)生變化，不斷積累和產(chǎn)生新的背景素材 . 三、教學(xué)素材的特點(diǎn) 1．科學(xué)性 2．開放性 3．動態(tài)性 4．適切性 組織和呈現(xiàn)的素材應(yīng)該是學(xué)生熟悉的， 可以理解的．應(yīng)符合學(xué)生年齡特點(diǎn)、知識 水平及生活經(jīng)驗(yàn)，組織和呈現(xiàn)的教學(xué)素 材，涉及的知識要符合 《 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 》 . 符合自己的教學(xué)風(fēng)格，反對拿來主義． 4．從實(shí)驗(yàn)操作中提煉教學(xué)素材 四、組織和呈現(xiàn)教學(xué)素材的途徑和方法 1．從生活中提煉教學(xué)素材（ 同類項(xiàng) ） 2．從教科書中提煉教學(xué)素材（ 分式方程 ） 3．從古典名題中提煉教學(xué)素材（ 雞兔同籠 ） 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了獲得某些數(shù)學(xué)知識，形成或檢驗(yàn)?zāi)硞€數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用有關(guān)工具（如 :紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機(jī)（幾何畫板）等 )，在數(shù)學(xué)思維活動中進(jìn)行的一種人人參與的，以實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)探究式驗(yàn)證活動 . 開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能有效的促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式和思維方式的轉(zhuǎn)變 . 例如：在學(xué)生學(xué)習(xí)了菱形，正方形的性質(zhì)和判定后，可設(shè)計如下實(shí)驗(yàn)：①如何利用折紙，剪切的方法，既快又準(zhǔn)的剪出一個菱形紙片？如何才能剪出一個正方形紙片？②剪好后，展開看看，并說說為什么這樣剪就分別剪出了一個菱形和正方形 . 分析 : 若 AC=BC,則為正方形 . C B A 四邊形 菱形 菱形 再如 :馬明先生的多邊形內(nèi)角和與 外角和 的教 學(xué)案例 ,彰顯了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)魅力 . 隊(duì)列變換 再如 : 五、組織和呈現(xiàn)教學(xué)素材的注意點(diǎn) 1．情境的設(shè)計 楊裕前先生認(rèn)為好的情境是 : 師生內(nèi)在思維活躍，才是上好數(shù)學(xué)課的“靈魂” 案例 4: “ 公說公有理，婆說婆有理 ” ③ 要著力夯實(shí)“四基” ● 先舉例是探究，后舉例說明是有意義的接受 . ● 反思也是創(chuàng)新的必要步驟 . 基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)概念、定理等，許多都是數(shù)學(xué)家們幾百年，甚至上千年的經(jīng)驗(yàn)積累才總結(jié)形成的 .這些都是無法在短時間內(nèi)探究出來的 .“ 負(fù)負(fù)得正”這條法則，數(shù)學(xué)家們化了一千年才得到負(fù)數(shù)的概念，又花了一千年才接受了負(fù)數(shù)這個概念，這樣的歸納不能得到“負(fù)負(fù)得正” . 學(xué)生曰 :你不說我還清楚，你越說我越糊涂 . 他沒有因?yàn)楸苊獬橄蠖艞墝π问交淖非?,他永遠(yuǎn)解不開的是數(shù)學(xué)家的情結(jié) .他兼容并蓄 ,好象沒有自己 .他既要美 ,也要實(shí)驗(yàn) ,更要證明 .他在每一個領(lǐng)域都有所涉及 ,可以向每一個領(lǐng)域的專家討教 ,但最為投入、不斷鉆研的還是教學(xué) .他的心得 ,沒有文學(xué)般的感染力 ,沒有科學(xué)般的真理 ,更沒有數(shù)學(xué)般的嚴(yán)謹(jǐn) ,有點(diǎn)向老農(nóng)的耕作經(jīng)驗(yàn) ,或者善良百姓的為人之道 ,很樸實(shí) ,很實(shí)在 ,也很有用 .但他不自信 ,時刻準(zhǔn)備著教育理論的敲打