【正文】 讓數(shù)學(xué)教師的潛質(zhì)盡情釋放 南京市寧海分校 卜以樓 三位著名人士：一位文學(xué)家，一位科學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家，結(jié)伴到云南，在一塊草地上，看到一只羊。 文學(xué)家非常驚訝： 哎，云南的羊是黑的。 科學(xué)家雖然驚訝，但比文學(xué)家要理性得多：在云南，某地的一塊草地上，有一只羊是黑的。那么數(shù)學(xué)家會(huì)怎么說(shuō)呢？ 數(shù)學(xué)家說(shuō)：在云南，存在一只羊，至少一半是黑的。 藝術(shù)家任憑感覺(jué)，感覺(jué)的情感色彩是他的生命，于是才有了 “ 飛流直下三千尺，疑是銀河落九天 ” 這樣的詩(shī)句。 科學(xué)家也有感覺(jué)，但與藝術(shù)家的感覺(jué)不同，其特點(diǎn)是理性的、客觀的，是抑制主觀感情色彩的。 數(shù)學(xué)家不相信感覺(jué)，甚至連那些儀器也不相信，數(shù)學(xué)家只相信證明。 藝術(shù)的最高權(quán)威是美 ， 科學(xué)的最高權(quán)威是實(shí)驗(yàn)， 數(shù)學(xué)的最高權(quán)威是證明。 如果一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，也與上述三位名士相伴，會(huì)說(shuō)什么？ 數(shù)學(xué)教師的潛質(zhì)該釋放出什么光芒呢？ 第一部分 數(shù)學(xué)教育與教育數(shù)學(xué) 一、繼承與改革 直線是幾何中的一個(gè)抽象概念。從數(shù)學(xué)的邏輯來(lái)看，當(dāng)然應(yīng)從基本概念出發(fā) ,研究基礎(chǔ)性質(zhì)。如是一直以公理體系推理出發(fā) , 那么必然會(huì)影響、扼殺大多數(shù)的學(xué)生的想象力和對(duì)數(shù)學(xué)的感受，使幾何入門成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸。這就是數(shù)學(xué)的本來(lái)邏輯不適應(yīng)學(xué)生的心理基礎(chǔ)的矛盾。 怎么辦？從三維空間感受豐富的幾何世界，建立起生活世界和幾何世界的聯(lián)系，有利于直線概念的形成。 小孩大都喜歡動(dòng)畫片，為什么成人卻對(duì)此不那么熱衷呢？大概因?yàn)槟切﹫D象在小孩眼里是立體的，而在大人看來(lái)則是平面的。 世界上本來(lái)不存在平面，平面是一種抽象，這種抽象比從數(shù)量抽象到數(shù)還難。兒童最先感知的是他們生活的空間，這是一個(gè)三維世界，他們觀察的是這個(gè)世界中的每一個(gè)具體的物體，以及物體之間的位置關(guān)系。 而過(guò)去的數(shù)學(xué)教學(xué)狀況是幾何直觀講的太少，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。比如把三角形分類 :銳角、直角、鈍角三角形。核心是直角三角形，它是分水嶺。分類不是死的，任何分類幾乎都有個(gè)分水嶺，分水嶺研究清楚了就都清楚了。 如圖 ，中間是直角三角形，外面的是銳角三角形，里面是鈍角三角形。老師要把三邊的關(guān)系教給同學(xué)，在直角三角形中，兩直角的平方和等于斜邊的平方 . 從圖中明顯看出，鈍角三角形中，鈍角兩邊的平方和小于對(duì)邊的平方，銳角三角形中的結(jié)果則恰恰相反，這就是余弦定理。 數(shù)據(jù)自己獲取，標(biāo)準(zhǔn)可以自己定，結(jié)論可以自己給。 如果發(fā)明創(chuàng)造都是在別人的標(biāo)準(zhǔn)下發(fā) 明創(chuàng)造，這是要吃虧的，我們要突破這 些 . 自己選擇標(biāo)準(zhǔn)給有理數(shù)分類，并與同學(xué)交 流分類的標(biāo)準(zhǔn)與結(jié)果。 對(duì)于這樣的問(wèn)題答案是無(wú)所謂對(duì)、錯(cuò)的，只要分類得出的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)一致就可以。這種思維是創(chuàng)新的根本。 分類思想： 北大附中張思明老師給出的例子： 桌子上散落著各式各樣的扣子，請(qǐng)同學(xué) 們想一想能把這些扣子分成幾類，分類 的標(biāo)準(zhǔn) 是什么？ 體會(huì)：分類的思想：從一個(gè)大前提出發(fā) 分類，再進(jìn)一步細(xì)分，但最后都是一樣 的。 某電視臺(tái)希望了解本地居民喜歡的電視 節(jié)目類型，請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查問(wèn)卷 . 三角形全等的判定 北師大教授鐘善基認(rèn)為：我們的數(shù)學(xué)課本的編法也應(yīng)該改變，如原來(lái)按邏輯系統(tǒng)編的《 歐氏幾何原本 》 加些數(shù)學(xué)習(xí)題就是數(shù)學(xué)課本，如果去掉習(xí)題，只剩下邏輯系統(tǒng)的論述，課本也就是專著了。 比如乘法運(yùn)算的法則 “ 負(fù)負(fù)得正 ” 只是一種規(guī)定。 水稻專家袁隆平說(shuō) “ 他學(xué)正負(fù)數(shù)時(shí)想不清楚這個(gè)法則的道理，就去向老師請(qǐng)教，老師說(shuō) :“你記住就行了。 ” 數(shù)的運(yùn)算法則本來(lái)是規(guī)定的，而不是推導(dǎo)出來(lái)的，先規(guī)定運(yùn)算法則，然后研究運(yùn)算定律是否成立。當(dāng)然，怎樣規(guī)定運(yùn)算法則，不能是任意的，要看數(shù)學(xué)本身的性質(zhì)。 如為了反映客觀實(shí)際的某種數(shù)量關(guān)系而反映的一種數(shù)量關(guān)系，那它的運(yùn)算法則的規(guī)定，應(yīng)能反映這種數(shù)量關(guān)系，從而解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 . 這樣看來(lái)，從理論上講，不講為什么，只說(shuō) “ 負(fù)負(fù)得正 ” 是一種規(guī)定，讓學(xué)生就記住并運(yùn)用，是正確的。但是數(shù)學(xué)理論上正確的東西，落實(shí)到教學(xué)上并不妥當(dāng)，因?yàn)樗环蠈W(xué)生的學(xué)習(xí)心理，只是抽象的規(guī)定，而完全沒(méi)有現(xiàn)實(shí)的東西，對(duì)于學(xué)生的發(fā)展是不利的。 正是如此，在我們的課本上和教學(xué)實(shí)踐中，才設(shè)置了種種情景，構(gòu)造出了許許多多的模型，從現(xiàn)實(shí)需要中抽象出 “ 負(fù)負(fù)得正 ”的規(guī)律。這種本來(lái)是抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，被生活化了，這里的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不是數(shù)學(xué) , 而是數(shù)學(xué)教育！ 規(guī)定既有客觀世界中的實(shí)際背景，又有數(shù)學(xué)內(nèi)部需要和諧發(fā)展的思想背景。 案例 : 函數(shù)的教學(xué) 函數(shù)是表現(xiàn)客觀世界變化規(guī)律的重要模型。函數(shù)教學(xué)，不應(yīng)只是關(guān)注對(duì)其表達(dá)式，定義域和值域的討論。而應(yīng)選取具體實(shí)例進(jìn)行該教學(xué)。使學(xué)生體會(huì)函數(shù)能夠反映客觀事物的變化規(guī)律。 但是豐富的實(shí)例會(huì)給學(xué)生留下什么呢？會(huì)給學(xué)生留下錯(cuò)覺(jué)：變化，可以用一個(gè)式子將變化規(guī)律描述出來(lái)。 我們知道變化不是函數(shù)的本質(zhì)，用式子表示也不是函數(shù)的本質(zhì)。 “ 對(duì)應(yīng) ” 才是函數(shù)的本質(zhì)。因此，從邏輯上講，從 “ 集合 “ 出發(fā)來(lái)展開函數(shù)的學(xué)習(xí)，才符合學(xué)科的邏輯體系。可是，學(xué)生呢？對(duì)教學(xué)而言，再好的數(shù)學(xué)，不滿足學(xué)生的接受心理又有什么變化呢？ 人們總是說(shuō)，教學(xué)的起點(diǎn)必須嚴(yán)格，第一次教給學(xué)生的概念必須是準(zhǔn)確的，其實(shí)怎么可能呢？不難理解，當(dāng)學(xué)生第一次接觸 “ 點(diǎn) ” 時(shí)，一定不是幾何中的點(diǎn)；當(dāng)我們第一次向?qū)W生講“ 函數(shù) ” 時(shí)，一定很難避免 “ 當(dāng) x不同時(shí)， y也不同 ” 的信息。 正如一位偉人所說(shuō)：人們認(rèn)識(shí)問(wèn)題一定是從錯(cuò)誤開始，然后由此轉(zhuǎn)向真理，從錯(cuò)誤到真理，這是人們認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律，也是教育的基本規(guī)律。 教育的起點(diǎn)是謊謬和錯(cuò)誤，教育的本質(zhì)就是在糾偏，糾錯(cuò)，再糾錯(cuò)！ 數(shù)學(xué)名師張乃達(dá)老師講了一件實(shí)事：有個(gè)小販賣韭菜，吆喝說(shuō)： “ 好韭菜，沒(méi)有一根黃的 !”一位行人不聲不響地從把韭菜中挑出一根黃的，質(zhì)問(wèn)： “ 這是什么 ?” 小販語(yǔ)塞。 這件事很有趣。不過(guò)，轉(zhuǎn)而一想，天下的是事未見(jiàn)得都那么準(zhǔn)確，我們把有些小概率事件就當(dāng)成不可能事件。日常用語(yǔ)，真的那么嚴(yán)格，趣味、情感、幽默都無(wú)從說(shuō)起了，關(guān)鍵是一個(gè) “ 尺度 ” 問(wèn)題 。 兩個(gè)蚊子 ——沒(méi)有證據(jù) 香港科技大學(xué)項(xiàng)武義教授曾生動(dòng)地把數(shù)學(xué)比喻美女西施。 如果只是把數(shù)學(xué)形式地邏輯演繹一番，那等于是把西施放在 x光下透視。當(dāng)然，如果 “ 美女 ” 有病， x光檢查是很管用的，你所看到的只是一副骨架而已，毫無(wú)美感可言。 因此，數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是把數(shù)學(xué)有血有肉地表現(xiàn)出來(lái)。 超越束縛，使為了抵達(dá)自由王國(guó)。從必然王國(guó)到自由王國(guó)，是創(chuàng)新的必由之路；超越束縛，是為了回歸自由狀態(tài)，回到知識(shí)得以萌生、形成和發(fā)展的地方，是教學(xué)煥發(fā)生命活力之所在。 結(jié)論： 中學(xué)課本教材，既要注意保持邏輯思維，又要體現(xiàn)認(rèn)識(shí)系統(tǒng)，使之成為兩者結(jié)合的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)課本。 20世紀(jì)末，改革是中國(guó)社會(huì)進(jìn)步的主旋律。在政治體制、經(jīng)濟(jì)體制改革取得生重大成功的基礎(chǔ)上，作為上層建筑的教育改革也隨之啟動(dòng)。 1990年以來(lái)，先把素質(zhì)教育作為社會(huì)主義總的教育目標(biāo)，接著，創(chuàng)新成為教育改革的靈魂。隨之，研究性學(xué)習(xí)，問(wèn)題解決的教學(xué)模式，自主、探究、合作的教學(xué)方法，都在創(chuàng)新的理念下成為教育工作者的自覺(jué)行為。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 美國(guó)學(xué)者在考察臺(tái)灣教育認(rèn)為：建構(gòu)主義只是一種認(rèn)識(shí)論。認(rèn)識(shí)論不能等同于教學(xué)論。數(shù)學(xué)教學(xué)必須在很短的時(shí)間內(nèi)將人類幾千年來(lái)積累的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生很快的取其精華，掌握其基礎(chǔ)的核心部分。 沒(méi)有效率的教育，不是好的教育。注意這里的效率既要考慮長(zhǎng)期效率，又要考慮瞬時(shí)效率。 (1) 對(duì)這次課程改革的反思 ①對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)肯定不夠； 陳省身：中國(guó)千萬(wàn)不要學(xué)習(xí)美國(guó)的數(shù)學(xué)教育，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育在實(shí)踐上肯定是比美國(guó)好，事實(shí)勝于雄辯，中國(guó)好不容易有一項(xiàng)比美國(guó)好的數(shù)學(xué)成績(jī)。為什么自己不珍惜，不總結(jié)呢？ ● 雙基的界定 從字面上理解，雙基指 “ 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能 ” 。但是，什么是基礎(chǔ)？什么是技能？不同的歷史時(shí)期，不同的發(fā)展需求，會(huì)有不同的基礎(chǔ)。比如，可以是本學(xué)科的基礎(chǔ)，可以是為其它學(xué)科服務(wù)的基礎(chǔ)，也可以是作為一個(gè)未來(lái)的公民的基礎(chǔ)?！?雙基 ” 的概念太模糊，很少有人能把它說(shuō)清楚 。 雙基教學(xué) ——傳統(tǒng)的繼承與發(fā)展 ● 雙基教學(xué)的特征 “ 雙基教學(xué)是注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能教學(xué)和基本能力的培養(yǎng)的，以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以學(xué)法為基礎(chǔ)，注重教法，具有啟發(fā)性、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)性、示范性、層次性、鞏固性等特征的一種教學(xué)模式。 ” 雙基教學(xué)的特征突出體現(xiàn)在 “ 啟發(fā)式教學(xué)，精講多練，