【正文】 學(xué)的最高權(quán)威是證明。那么數(shù)學(xué)家會怎么說呢？ 數(shù)學(xué)家說：在云南，存在一只羊，至少一半是黑的。 讓數(shù)學(xué)教師的潛質(zhì)盡情釋放 南京市寧海分校 卜以樓 三位著名人士：一位文學(xué)家，一位科學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家，結(jié)伴到云南，在一塊草地上，看到一只羊。 藝術(shù)家任憑感覺，感覺的情感色彩是他的生命，于是才有了 “ 飛流直下三千尺，疑是銀河落九天 ” 這樣的詩句。 如果一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，也與上述三位名士相伴，會說什么？ 數(shù)學(xué)教師的潛質(zhì)該釋放出什么光芒呢？ 第一部分 數(shù)學(xué)教育與教育數(shù)學(xué) 一、繼承與改革 直線是幾何中的一個抽象概念。 怎么辦？從三維空間感受豐富的幾何世界，建立起生活世界和幾何世界的聯(lián)系，有利于直線概念的形成。 而過去的數(shù)學(xué)教學(xué)狀況是幾何直觀講的太少，沒有運動的知識。 如圖 ，中間是直角三角形，外面的是銳角三角形，里面是鈍角三角形。 對于這樣的問題答案是無所謂對、錯的，只要分類得出的結(jié)果與標準一致就可以。 比如乘法運算的法則 “ 負負得正 ” 只是一種規(guī)定。 如為了反映客觀實際的某種數(shù)量關(guān)系而反映的一種數(shù)量關(guān)系，那它的運算法則的規(guī)定，應(yīng)能反映這種數(shù)量關(guān)系，從而解決有關(guān)的實際問題 . 這樣看來，從理論上講，不講為什么，只說 “ 負負得正 ” 是一種規(guī)定，讓學(xué)生就記住并運用，是正確的。 案例 : 函數(shù)的教學(xué) 函數(shù)是表現(xiàn)客觀世界變化規(guī)律的重要模型。 但是豐富的實例會給學(xué)生留下什么呢？會給學(xué)生留下錯覺：變化，可以用一個式子將變化規(guī)律描述出來?？墒牵瑢W(xué)生呢？對教學(xué)而言，再好的數(shù)學(xué)，不滿足學(xué)生的接受心理又有什么變化呢？ 人們總是說，教學(xué)的起點必須嚴格，第一次教給學(xué)生的概念必須是準確的，其實怎么可能呢？不難理解，當學(xué)生第一次接觸 “ 點 ” 時，一定不是幾何中的點；當我們第一次向?qū)W生講“ 函數(shù) ” 時，一定很難避免 “ 當 x不同時， y也不同 ” 的信息。不過，轉(zhuǎn)而一想，天下的是事未見得都那么準確，我們把有些小概率事件就當成不可能事件。當然，如果 “ 美女 ” 有病， x光檢查是很管用的，你所看到的只是一副骨架而已，毫無美感可言。 結(jié)論： 中學(xué)課本教材，既要注意保持邏輯思維，又要體現(xiàn)認識系統(tǒng)，使之成為兩者結(jié)合的數(shù)學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)課本。隨之，研究性學(xué)習(xí)，問題解決的教學(xué)模式，自主、探究、合作的教學(xué)方法，都在創(chuàng)新的理念下成為教育工作者的自覺行為。 沒有效率的教育，不是好的教育。但是，什么是基礎(chǔ)？什么是技能？不同的歷史時期，不同的發(fā)展需求，會有不同的基礎(chǔ)。 ” 雙基教學(xué)的特征突出體現(xiàn)在 “ 啟發(fā)式教學(xué)，精講多練，變式練習(xí)，小步走、小轉(zhuǎn)彎、小坡度的教學(xué)法，以及大容量、快節(jié)奏、高密度的復(fù)習(xí)課 ” 。 “四基 ” 是緊密聯(lián)系的有機整體，是數(shù)學(xué)學(xué)力的基本構(gòu)成要素。 接受學(xué)習(xí)與探究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí) 有意義的接受學(xué)習(xí)的先進性是知識效率高、易控制。 有意義的接受學(xué)習(xí)是中國數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)良傳統(tǒng)，要保持。 但并非所有的內(nèi)容都適合于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)只是接受學(xué)習(xí)的有益補充。后來， “ 歐洲人 ” 來了，告訴他們電燈比燃火照明要文明的多。電燈當然更為先進、文明，但是引進先進的技術(shù)，必須和原來的環(huán)境相適應(yīng)，要用好電燈，則必須采取防蟲、除蟲措施。 另一則寓言取自李瑞環(huán)的 《 學(xué)哲學(xué)、用哲學(xué) 》 一書，其中有一個故事是“老婦和茶山”，說的是老婦將一個用了多年的宜興茶壺到老街上賣。 盲目引進國外教育理論，丟棄自己的優(yōu)良傳統(tǒng)，是很危險的。這再一次表明，真理在兩個極端之間。必要的調(diào)整，是為了更好地前進。一段時間以來， “ 大眾數(shù)學(xué) ” 被廣泛宣傳，而且被用來指導(dǎo)數(shù)學(xué)課改。“ 教什么永遠比怎么教重要 ” ，正如， “ 吃什么永遠比怎么吃重要 ” 。但是某些課例又不能不說在這一環(huán)節(jié)上花了過多的精力和時間 。為了這個題目，就要去了解那些與數(shù)學(xué)無關(guān)的東西，那些東西我覺得放在教材中就變成數(shù)學(xué)教材的雜質(zhì)，雜質(zhì)有什么壞處呢？分散精力，分散注意力。雜質(zhì)太多，把數(shù)學(xué)美都沖散了、瓦解了、分散掉了。 我學(xué)數(shù)學(xué)的人生總結(jié)，真正數(shù)學(xué)學(xué)好的 人都 有這樣類似的體會： “ 興趣使人忘卻疲勞；志趣 使人精力持久；樂趣使人精神充實；三趣具備， 自學(xué)必有所成，能享健康長壽，且能成為后輩存 在的銘記。學(xué)好了數(shù)學(xué)， 再去聯(lián)系實際的話，你的實際能力反而強了。 如果既利于學(xué)生的發(fā)展，又利于國家的發(fā) 展，即使苦一點也沒有什么了不起的。 所以 基礎(chǔ)教育階段應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能 力。據(jù)此，根據(jù)知識的外化程度，可以將人類頭腦中的知識分為可以言傳的明確知識和不可以言傳的默會知識。 默會知識 默會知識回答的主要內(nèi)容是“怎么想”、“怎么做”等問題，如面臨一個實際問題情境將如何思考解決問題的策略，教師如何在具體教學(xué)實踐中把握教學(xué)原則等。明確知識和默會知識就像一座冰山的兩個部分，前者浮出海面，后者在下面托起這座冰山，可用下圖表示關(guān)系。知識創(chuàng)新才有根基，對于人類的進步和個體的發(fā)展，默會知識才有更為重要的作用。 顧澮沅先生提出知識傳承和創(chuàng)新出現(xiàn)的四種模式： 意境 —— 書本知識，聽課為主； 意會 —— 實踐經(jīng)驗，做中學(xué)； 內(nèi)化 —— 明確知識的融會貫通； 外顯 —— 默會知識逐步清晰化。 概念教學(xué)的本質(zhì)不是低水平的概念言語連鎖學(xué)習(xí)，而是要幫助學(xué)生獲得概念的心理意義，即形成概念內(nèi)涵的心理表象，或者說建構(gòu)起良好的概念圖式。概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。無論是通過概念的形成方式還是通過概念的同化方式來獲得概念，其最終目標都是掌握同類事物的關(guān)鍵屬性，使學(xué)生在頭腦里建構(gòu)起良好的概念認識圖式。 原理學(xué)習(xí)的本質(zhì)是 學(xué)習(xí)一些概念之間的 關(guān)系 。 教會學(xué)生創(chuàng)新 學(xué)生從下面 10個方 面去提問題： ① “ 假如 ” 的問題： 對一個假設(shè)的情境加以思考。例如， a與 √ a有 什么異同？ ④ “替代 ” 的問題： 用其它對象取代原來對象。例如，想象納米機器人進入人體后會發(fā)生什么？ ⑧“組合”的問題 :將 一些對象（字詞、事物、圖形等）重新排列組合成另外有意義的材料。 提出問題，那么你就會有很多好點子，你也就能做出不同凡響的創(chuàng)新。 思想性 —— 加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透與概括 , 引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟具體內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想 。數(shù)學(xué)教育學(xué)的對象是數(shù)學(xué)教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)本身，數(shù)學(xué)教育學(xué)面臨的主要問題有：（ 1）教什么 —— 教學(xué)內(nèi)容的問題； （ 2）怎樣教 —— 教學(xué)方法問題。要把材料變?yōu)榻滩?，按照教育學(xué)的說法必須對材料進行“教學(xué)法的加工”。他還進一步地說明：所謂教育數(shù)學(xué)，就是為教育而做數(shù)學(xué)，它和數(shù)學(xué)教育學(xué)有關(guān)系，但又不相同，數(shù)學(xué)教育學(xué)著眼于教學(xué)法和如何對數(shù)學(xué)材料進行教學(xué)法地加工，是為了數(shù)學(xué)而做教育，并不承擔數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造工作，也就是并不做數(shù)學(xué)；教育數(shù)學(xué)則實實在在是要做數(shù)學(xué)的。 華南師大何小亞認 為 :“ 數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在 教師的引導(dǎo)下能動地建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，使自己得到全面發(fā)展的過程。 原始形態(tài) 是指數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理、證明數(shù)學(xué)命題時說進行的繁復(fù)曲折的數(shù)學(xué)思考。 教育形態(tài)： 是指通過老師的努力，啟發(fā)學(xué)生高效率地進行火熱的思考，把人類數(shù)千年積累的數(shù)學(xué)知識體系，使學(xué)生容易地接受。 長、寬、高 知識與技能目標 （了解；理解；掌握；靈活運用） 過程性目標（經(jīng)歷（感受）；體驗（體會）；探索） 知識與技能；數(shù)學(xué)思考； 解決問題；情感態(tài)度與價值觀。 情境是不影響教學(xué)本質(zhì)的 . 延伸性 關(guān)于“教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)”的問題，并不是所有的課都需要有“生活情境”來引入 .也就是“生活情境”、 “數(shù)學(xué)化”、 “建?！辈⒉皇侨f能的 .否則課改又走入到另一個“千課一面” “千課一法”的極端 .而有的課更適合用“復(fù)習(xí)舊知”來引入新課 .例如“用因式分解法解一元二次方程”， “有理數(shù)的混合運算”等 . 案例 1: “ 三角形的內(nèi)角和 ”的教學(xué) . 李大潛院士認為 : “ 老是量，就退到尼羅河時代去了” . 三角形內(nèi)角和價值在于理性思維 . 案例 2: “ 用字母表示數(shù)”的教學(xué) . 呈現(xiàn)大量的圖片、會徽、標志 ,有“喧賓奪主”之嫌，有“流行病”之狀 . 其核心是“兩種語言的互譯” . 雙基要求 :示范、糾錯、練習(xí) . 新的教學(xué) :自主、探究、合作 . 哪種有效？ 只代表，不運算，沒有價值 . 項武義教授 : “ 文字代表數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字享有同等權(quán)利進行相同的運算 .” 現(xiàn)象 :過于注重形式，淡化數(shù)學(xué)本質(zhì)； 過于追求活躍，忽視教學(xué)績效 . ? 設(shè)計要緊緊圍繞“教學(xué)內(nèi)容” 改革不是要推倒重來，而是對傳統(tǒng)的東西在繼承的基礎(chǔ)上發(fā)展和揚棄 .例如，關(guān)于“教師主導(dǎo)作用”與“學(xué)生主體作用”關(guān)系問題，張奠宙教授就指出 : “ 提倡‘啟發(fā)式’，反對‘注入式’，這