中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc-展示頁(yè)
2025-07-26 15:27本頁(yè)面
【正文】 這個(gè)中心極限定理是由林德貝格和勒維分別獨(dú)立的在1920年獲得的，定理告訴我們，對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可以是非正態(tài)分布，只要其共同分布的方差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。為此,設(shè)的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為又因?yàn)镋()=0，Var()=,所以有=0。一、獨(dú)立同分布下的中心極限定理及其應(yīng)用在對(duì)中心極限定理的研究中，我們不妨由淺入深地來(lái)學(xué)習(xí)，為此我們先來(lái)研究一下在獨(dú)立同分布條件下的中心極限定理，即如下的定理1：定理l（林德伯格勒維中心極限定理）設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在，若記則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有 （1）證明：為證明(1)式，只須證的分布函數(shù)列弱收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量之和近似服從于正態(tài)分布的條件。中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，中心極限定理是非常重要的一節(jié)內(nèi)容，而且是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間承前啟后的一個(gè)重要紐帶。中心極限定理是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。故為了深化同學(xué)們的理解并掌握其重要性，本組組員共同努力，課外深入學(xué)習(xí)，詳細(xì)地介紹了中心極限定理的內(nèi)涵及其在生活實(shí)踐中的應(yīng)用。由定理可知：只須證的特征函數(shù)列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)。于是，特征函數(shù)有展開(kāi)式從而有而正是N(0,1)分布的特征函數(shù)，定理得證。定理1的結(jié)論告訴我們：只有當(dāng)n充分大時(shí),才近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而當(dāng)n較小時(shí)，此種近似不能保證。當(dāng)時(shí)，則有經(jīng)過(guò)多方面的理論研究，我們可知定理1主要適用于以下兩個(gè)方面；應(yīng)用一：求隨機(jī)變量之和落在某區(qū)間的概率（例如例2.）。在日常生活中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)有很多的例子均可用林德伯格勒維中心極限定理來(lái)解決。例1．用中心極限定理說(shuō)明在正常的射擊條件下，炮彈的射程服從或近似服從正態(tài)分布。由于在實(shí)際射擊中，有很多不可控制的隨機(jī)因素在不斷變化，所以造成了實(shí)際射程對(duì)理論射程的偏差，若設(shè)：射擊時(shí)炮身振動(dòng)引起的偏差，：炮彈外形差異引起的偏差，：炮彈內(nèi)火藥的成分引起的偏差，：射擊時(shí)氣流的差異引起的偏差……，：……，顯然有=∵影響實(shí)際射程的因素是大量的，∴這里的n一定很大，又∵炮身的振動(dòng)、炮彈的外形、火藥的成分、氣流的變化…….這些因素之間沒(méi)有什么關(guān)系(或有微弱關(guān)系)。而正常的射擊條件也就是對(duì)射程有顯著影響的因素已被控制，所以，……所起的作用可看做是同樣微小?！呖烧韶?fù)且相會(huì)均等 ∴p=0 ∴～N(0，)?，F(xiàn)在的旅游、汽車(chē)等行業(yè)越來(lái)越受歡迎，為了體現(xiàn)中心極限定理的重要性，我們不妨從現(xiàn)實(shí)生活中的熱門(mén)行業(yè)說(shuō)起，看看它到底起到怎樣的重要性。[1]解：設(shè)為第i天出售的汽車(chē)的數(shù)量，則為一年的總銷(xiāo)量，由，知3652=730利用中心極限定理得P(700)=1P(≤700)≈1—=1(一1．11)=從此例可以看出，中心極限定理揭示了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的內(nèi)在關(guān)系，即離散型隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布。那么在理論中，我們也可用它來(lái)解決一些比較抽象的問(wèn)題，比如下面的極限求解問(wèn)題。大約在1733年，棣莫弗對(duì)p=證明了上述定理，后來(lái)拉普拉斯把它推廣至p是任意一個(gè)小于l的正數(shù)上去。由于此定理有更廣泛的實(shí)際應(yīng)用，我們將在下面的部分具體地分析棣莫弗拉普拉斯中心極限定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。在實(shí)際問(wèn)題中說(shuō)諸具有獨(dú)立性是常見(jiàn)的，但是很難說(shuō)諸是“同分布”的隨機(jī)變量。在此，我們還要深入地研究在獨(dú)立不同分布的前提下，各隨機(jī)變量和的極限分布問(wèn)題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件。譬如若允許從第二項(xiàng)開(kāi)始都等于0，則極限分布顯然由的分布完全確定，這時(shí)就很難得到什么有意思的結(jié)果。下面我們來(lái)分析如何用數(shù)學(xué)式子來(lái)明確表達(dá)這個(gè)要求。如果要求中各項(xiàng)“均勻地小”，即對(duì)任意的要求事件發(fā)生的可能性小，我
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