復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案-展示頁
2025-07-04 19:56本頁面
【正文】 y=b.(a, b為實數(shù))解：設(shè)所以(1) 記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即(2) 記，則映成了w平面上扇形域，即(3) 記，則將直線x=a映成了即是以原點為焦點，張口向左的拋物線將y=b映成了即是以原點為焦點，張口向右拋物線如圖所示.3. 求下列極限.(1) 。（4）、Re(z)Imz．解：表示直線y=x的右下半平面Imz1，且|z|2．解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。所以在α處切于圓周T的關(guān)于β的充要條件是αβ=90176。證明下列不等式．并給出最后一個等式的幾何解釋．證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了．下面證．∵．從而得證．∴幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的和．①解： 其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴：(1)i的三次根；(2)1的三次根；(3) 的平方根.⑴i的三次根．解：∴．?、?的三次根解：∴⑶的平方根．解： ∴∴．. 證明：證明：∵ ∴，即．∴又∵n≥2． ∴z≠1從而,.解：如圖所示．因為={z: =0}表示通過點a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90176。則．∴．命題成立．設(shè)z,w∈163。習(xí)題一1. 用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù).解： ②解： ③解： ④解： (z=x+iy)R)。 ①解： ∵設(shè)z=x+iy則 ∴, ．②解： 設(shè)z=x+iy∵∴, ．③解： ∵∴, ．④解： ∵∴, ．⑤解： ∵．∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．①解：．②解： ③解：．④解：證明：當(dāng)且僅當(dāng)時，z才是實數(shù)．證明：若，設(shè)，則有 ，從而有，即y=0∴z=x為實數(shù)．若z=x，x∈161。證明： 證明：∵∴．設(shè)z,w∈163。故αβ=90176。．，并作出草圖.解：(1)、argz=π．表示負實軸．(2)、|z1|=|z|．表示直線z=．(3)、1|z+i|2解：表示以i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。所以當(dāng)y→∞時有|cosz|→∞．習(xí)題二1. 求映射下圓周的像.解：設(shè)則因為,所以所以 ,所以即，表示橢圓.2. 在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或.（1）； （2）。解：令,則.于是.(2) 。解：在全平面上可微.所以要使得， ,只有當(dāng)z=0時,從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時,即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3) 。證明：因為，所以,.所以u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2) 解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3) Ref(z)=常數(shù).證明：因為Ref(z)為常數(shù)，即u=C1, 因為f(z)解析，CR條件成立。(2) 沿拋物線y=x2，從點0到點1+i的弧段.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 3. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點i到點i的直線段。(3) 沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點i到點i.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 從到(3) 設(shè). 從到6. 計算積分,其中為.解 ∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析∴從而故7. 計算積分,其中積分路徑為（1） （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個奇點.（2）（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點,故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點,故.(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1.(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 17. 計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2) 中心位于點,
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