凸函數(shù)在初等代數(shù)中的應用-展示頁
2025-07-02 16:20本頁面
【正文】 初等代數(shù)中關于函數(shù)凸性的問題.2 預備知識定義 設為定義在區(qū)間上的函數(shù),若對上的任意兩點,和任意實數(shù),總有 , ,如果總有 . 則稱為區(qū)間上的凹函數(shù).定義 若在區(qū)間上有定義,當且僅當曲線的切線恒保持在曲線以下,則稱為上的凸函數(shù).性質 若在區(qū)間上為凸函數(shù),則當時,在上也為凸函數(shù).性質 若,在區(qū)間都為凸函數(shù),則在區(qū)間上也為凸函數(shù).性質 若在區(qū)間上為凸函數(shù),則當時,在區(qū)間上也為凸函數(shù).性質 (Jensen不等式)若為區(qū)間上的凸函數(shù),則對任意的,且,有.推論 若是凸函數(shù),則其對應定義域中的任意個點,恒有,當且僅當時等號成立.定理 為上的凸函數(shù)的充要條件是:對于上的任意三點,總有 .推論 若在上滿足 (,且),則稱為上的凸函數(shù).定理 設為區(qū)間上的二階可導函數(shù),則為上的凸函數(shù)的充要條件是,.由于凹函數(shù)與凸函數(shù)是對偶的概念,后一個有什么結論,前一個亦有相應的結論,所以本文只需討論函數(shù)的凸性.3 判別函數(shù)凸性的方法,. 定義法,對,有 ,即 ,所以為上的凸函數(shù). 定理法例1 判別函數(shù)的凸性.解 令且,則,由定理1有,所以為上的凸函數(shù).例2 判別的凸性.解 由于,則由定理2知,當,即時,在
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