【正文】 同的解釋，每個(gè)解釋對(duì)應(yīng)P1，…，Pn的一個(gè)極大項(xiàng)。 mj=0，i≠j。（2）對(duì)P1，…，Pn的任意一個(gè)極小項(xiàng)m，有且只有一個(gè)解釋使m取1值，若使極小項(xiàng)取1的解釋對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為i，則m記為mi，于是關(guān)于P1，…，Pn的全部極小項(xiàng)為m0，m1，…。216。216。RM7=216。R111m7= P217。216。RM6=216。Q217。216。P218。 Q217。R 101m5=P217。P218。216。216。216。216。 Q217。R011m3=216。216。216。 P217。216。RM1=P218。216。R001m1=216。RM0=P218。 Q217。 P217。教材中已經(jīng)給出了這方面的例子，在此不再贅述。 Gk 222。G有如下兩種方法：1. G1 217。B。216。 P218。R) 217。 P218。216。 P218。R) 217。 P218。R) 217。A和B的主合取范式分別為：A=(P218。R)，可見，A222。 ( P217。216。 (P217。Q217。 (216。216。 P217。R) 218。216。 (216。216。216。R)，B= (216。 ( P217。216。 (P217。Q217。 (216。216。 P217。R) 218。216。，A和B的主析取范式分別為：A= (216。若公式A的主析取范式所包含的所有極小項(xiàng)也包含在公式B的主析取范式中；或者，公式B的主合取范式中所包含的極大項(xiàng)均包含在公式A的主合取范式中，則公式A蘊(yùn)涵公式B。 Q。 P) 174。 Q。 P在I下為真，故I弄假(R174。假設(shè)存在解釋I使P174。 Q蘊(yùn)涵 P174。，證明(R174。綜上，I滿足B，因此，A蘊(yùn)涵B。R174。 Q），因此，I亦滿足B。Q) 174。 Q），證明A蘊(yùn)涵B。（（P218。 Q，B=(R174。方法四. 任取解釋I，若I滿足A，往證I滿足B。(P174。( P174。Q可知，( R218。 Q)由教材中基本蘊(yùn)涵式2. P217。Q) 217。 P218。Q) 217。 P) 218。Q= (R217。R218。 Q=216。，由基本等價(jià)式可得：A=(R174。216。216。216。 Q) 218。R217。P218。 Q) 218。P) 217。Q) =((216。(216。P) 218。 ( 216。 Q)= 216。 Q) 174。 ((R174。證明：我們來證明A174。 Q，B= P174。 設(shè)A=(R174。( B174。C)不是恒真公式，所以，(A174。C) 174。 (B217。C) (A217。C) 222。 (B217。C)000111001111010110011111110111111111從真值表可以看出，(A217。C) 174。 (B217。B(A217。B是恒真公式，故A=1時(shí)，B不可能為0。解：由A222。( B174。C)；（2）(A174。C) 222。請(qǐng)分別闡述（肯定或否定）下列關(guān)系式的正確性。 設(shè)A、B和C為命題公式，且A222。R)，即A222。Q)222。R)217。R)恒真，因此，：(P217。Q)174。R)217。，(P217。方法二. 證明A174。QAB00011110011111010111101111111001001101100111001001111111，使A為真的解釋均使B亦為真，因此，A222。Q174。B。Q)，B=(P174。R)217。 設(shè)A= (P217。 R) 規(guī)則3，根據(jù)（2）、（8） 公式蘊(yùn)涵的證明方法主要有如下方法：給出兩個(gè)公式A，B，證明A蘊(yùn)涵B，我們有如下幾種方法：方法一. 真值表法。(( P218。 R 規(guī)則2，根據(jù)（7）（9）(Q174。 R 規(guī)則2，根據(jù)（6）（8）（P218。（P218。Q）218。P217。Q218。 R）217。 R 規(guī)則2，根據(jù)（2）（5）（216。 R 規(guī)則2，根據(jù)（1）（4）216。 R 附加前提（3）216。（1）P174。 R))。(( P218。( (Q174。 R))恒真，只需證明(P174。(( P218。 ( (Q174。證明：要證明(P174。Q) 174。 R) 174。R) 174。H是恒真的轉(zhuǎn)化為證明G和H彼此相蘊(yùn)涵。H是恒真的轉(zhuǎn)化為證明G蘊(yùn)涵H；如果待考查公式是G171。H是恒真的，因此，如果待考查公式是G174。方法五. 注意到公式G蘊(yùn)涵公式H的充要條件是：公式G174。方法三. 設(shè)命題公式G含n個(gè)原子，若求得G的主析取范式包含所有2n個(gè)極小項(xiàng)，則G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n個(gè)極大項(xiàng)，則G是恒假的。P) 217。 (216。216。 P=0知，((P174。216。 P）217。（216。P) 217。 R=1，以及216。 R218。 R=216。R) 218。 P)是恒真、恒假還是可滿足。 (Q174。 R)174。R) 218。方法二. 以基本等價(jià)式為基礎(chǔ)，通過反復(fù)對(duì)一個(gè)公式的等價(jià)代換，使之最后轉(zhuǎn)化為一個(gè)恒真式或恒假式，從而實(shí)現(xiàn)公式恒真或恒假的證明。Q)P174。R)217。Q(P217。Q174。R)是恒真、恒假還是可滿足。Q)174。R)217。 說明 G= (P217。即列出公式的真值表，若表中對(duì)應(yīng)公式所在列的每一取值全為1，這說明該公式在它的所有解釋下都是真，因此是恒真的；若表中對(duì)應(yīng)公式所在列的每一取值全為0，這說明該公式在它的所有解釋下都為假，因此是恒假的。第二章 命題邏輯167。 主要解題方法 證明命題公式恒真或恒假 主要有如下方法：方法一. 真值表方法。真值表法比較煩瑣，但只要認(rèn)真仔細(xì)，不會(huì)出錯(cuò)。Q174。(P174。(P174。解：該公式的真值表如下：PQRP217。RP174。Q174。(P174。RG0001111100111111010111110111111110010011101100111100100111111111，故G恒真。 說明 G= ((P174。216。 (216。P) 217。解：由(P174。216。P218。216。 (Q174。 P= 216。Q218。 P = Q217。 P217。R) 218。 R)174。 (Q174。 P)=0，故G恒假。方法四. 對(duì)任給要判定的命題公式G，設(shè)其中有原子P1，P2，…，Pn，令P1取1值，求G的真值，或?yàn)?，或?yàn)?，或成為新公式G1且其中只有原子P2，…，Pn，再令P1取0值，求G真值，如此繼續(xù)，到最終只含0或1為止，若最終結(jié)果全為1，則公式G恒真，若最終結(jié)果全為0，則公式G恒假，若最終結(jié)果有1，有0，則是可滿足的。H是恒真的；公式G，H等價(jià)的充要條件是：公式G171。H型的，可將證明G174。H型的，可將證明G171。 證明 G= (P174。 ( (Q174。(( P218。 R))恒真。R) 174。 R) 174。Q) 174。R) 222。 R) 174。Q) 174。我們使用形式演繹法。R 規(guī)則1（2）Q174。P218。Q218。P218。（216。 R） 規(guī)則2，根據(jù)（3）、（4）（6）（216。216。 R 規(guī)則2，根據(jù)（5）（7）216。 Q）218。Q）174。 R) 174。Q) 174。將公式A和公式B同列在一張真值表中，掃描公式A所對(duì)應(yīng)的列，驗(yàn)證該列真值為1的每一項(xiàng)，它所在行上相應(yīng)公式B所對(duì)應(yīng)列上的每一項(xiàng)必為1（真），則公式A蘊(yùn)涵B。Q174。(P174。R)，證明：A222。證明：PQRP217。RP174。B。B是恒真公式。Q174。(P174。(P174。Q174。(P174。 (P174。B。B。（1）(A217。 (B217。C) 222。C)。B知，A174。真值表如下：ABCA174。C) 174。C)(A174。 ( B174。C) 174。C)是恒真公式，所以，(A174。( B174。C) 222。C)正確；(A174。 ( B174。C) 222。C)不正確。 P) 174。 Q，證明A蘊(yùn)涵B。B恒真。 P) 174。( P174。 (216。R218。Q) 218。P218。R218。216。(216。Q) =(216。216。( P 217。 Q) 218。( P 217。 Q) =1方法三. 利用一些基本等價(jià)式及蘊(yùn)涵式進(jìn)行推導(dǎo)。 P) 174。 ( 216。P) 218。216。Q=( R218。(216。Q)=( R218。( P174。Q222。Q) 217。 Q) 222。 Q)，即A蘊(yùn)涵B。 設(shè)A= P174。Q) 174。R）174。證明：任取解釋I，若I滿足A，則有如下兩種情況： （1）在解釋I下，P為假，這時(shí)，B等價(jià)于(R174。（R174。 （2）在解釋I下，P為真，Q為真，所以，P218。 Q為真，故B為真，即，I滿足B。方法五. 反證法，設(shè)結(jié)論假，往證前提假。 P) 174。 Q，若使用方法三，是很煩瑣的，而使用方法四，就很簡(jiǎn)單。 Q為假，則只有一種情形，P在I下為真，且Q在I下為假，這時(shí)R174。 P) 174。因此，(R174。 Q蘊(yùn)涵 P174。方法六. 分別將公式A和公式B轉(zhuǎn)化為它們各自的主析取范式或主合取范式。使用這種方法需要注意，當(dāng)公式A和公式B中包含的原子不完全相同時(shí)，在求兩公式的極小項(xiàng)或極大項(xiàng)時(shí)，要考慮該兩公式包含命題原子的并集中的所有原子。 P217。 Q217。(216。Q217。R) 218。 P217。R) 218。Q217。R) 218。Q217。 P217。 Q217。R) 218。 P217。 Q217。 (216。Q217。R) 218。 P217。R) 218。Q217。R) 218。Q217。B。Q218。(216。Q218。(216。Q218。R) ,B=(216。Q218。(216。Q218。R)可見，A222。另外若給出前提集合S={G1 ，…，Gk }，公式G，證明S222。 …217。G2. 形式演繹法：根據(jù)一些基本等價(jià)式和基本蘊(yùn)涵式，從S出發(fā)，演繹出G。 求主合取范式和主析取范式1. 極小項(xiàng)與極大項(xiàng)的性質(zhì)以3個(gè)原子為例，則對(duì)應(yīng)極小項(xiàng)和極大項(xiàng)的表為：PQR極小項(xiàng)極大項(xiàng)000m0=216。216。216。Q218。 P217。 Q217。Q218。R010m2=216。 Q217。RM2=P218。Q218。 P217。RM3=P218。Q218。R100m4= P217。 Q217。RM4=216。Q218。216。RM5=216。Q218。R110m6= P217。216。P218。Q2