高中數(shù)學(xué)第二章第9節(jié)函數(shù)與方程-展示頁
2025-06-26 17:07本頁面
【正文】 象與 x軸的交點(diǎn)嗎？ 提示： 不是 .函數(shù)的零點(diǎn)是一個實(shí)數(shù)，是函數(shù) y＝ f(x)的圖象與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) . 如果函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 [a， b]上的圖象是連續(xù)不斷的一 條曲線，并且有 ，那么函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c∈ (a， b)，使得 ，這個 也就是方 程 f(x)＝ 0的根 . f(a)f(b)＜ 0 (a， b) f(c)＝ 0 c [思考探究 2] (1)在上面條件下， (a， b)內(nèi)有幾個零點(diǎn)？ 提示： 不一定 .如函數(shù) f(x)＝ x2－ 1在 [－ 2,2]內(nèi)有兩個零點(diǎn)，但 f(2)f(b)＜ 0嗎？ y＝ ax2＋ bx＋ c(a＞ 0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ＞ 0 Δ＝ 0 Δ＜ 0 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋ c (a＞ 0)的圖象 與 x軸的 交點(diǎn) 零點(diǎn)個數(shù) (x1 ， 0)， (x2 ， 0) (x1 ， 0) 無交點(diǎn) 兩個 一個 零個 f(x)零點(diǎn)近似值的步驟 第一步，確定區(qū)間 [a， b]，驗(yàn)證 ，給定精確 ε； 第二步，求區(qū)間 (a， b)的中點(diǎn) x1； 第三步，計(jì)算 ： ①若 ，則 x1就是函數(shù)的零點(diǎn)； ②若 ＜ 0，則令 b＝ x1(此時零點(diǎn) x0∈ (a， x1))； ③若 ，則令 a＝ x1(此時零點(diǎn) x0∈ (x1， b))； 第四步，判斷是否達(dá)到精確度 ε：即若 |a－ b|＜ ε，則得到 零點(diǎn)近似值 a(或 b)；否則重復(fù)第二、三、四步 . f(a)f(x1) f(b)f( )＜ 0，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 [ ]. 答案： C f(x)＝ 4x＋ m2x＋ 1＝ 0只有一個零點(diǎn) . 令 2x＝ t(t0)， ∴ 方程 t2＋ mf()＜ 0，且 |－ |＝＜ ， ∴ f(x)＝ 0的一個近似解為 . 答案： 函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題常用的方法有： (1)解方程：當(dāng)能直接求解零點(diǎn)時，就直接求出進(jìn)行判斷 . (2)用定理：零點(diǎn)存在性定理 . [特別警示 ] 如果函數(shù) y＝ f(x)在 [a， b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且 x0是函數(shù)在這個區(qū)間上的一個零點(diǎn)，但f(a)f(b)＜ 0不一定成立 . (3)利用圖象的交點(diǎn)：有些題目可先畫出某兩個函數(shù) y＝f(x)， y＝ g(x)圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 f(x)－ g(x)的零點(diǎn) . 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間是否存在零點(diǎn) . (1)f(x)＝ x2－ 3x－ 18， x∈ [1,8]； (2)f(x)＝ x3－ x－ 1， x∈ [－ 1,2]； (3)f(x)＝ log2(x＋ 2)－ x， x∈ [1,3]； (4)f(x)＝ － x， x∈ (0,1). [思路點(diǎn)撥 ] [課堂筆記 ] (1)∵ f(1)＝－ 200， f(8)＝ 220， ∴ f(1)f(2)0， 故 f(x)＝ x3－ x－ 1， x∈ [－ 1,2]存在零點(diǎn) . (3)∵ f(1)＝ log2(1＋ 2)－ 1log22－ 1＝ 0， f(
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