【正文】 F = 4, BF= 5, 求 AC 和 EH 的長 . 圖 Z5 5 類型 2 圓與相似的綜合 解 :(1)證明 :∵ AC是☉ O的切線 ,AB為☉ O的直徑 , ∴ AC⊥ AB. 又 ∵ EH⊥ AB,∴ ∠ CAB=∠ EHB=90176。 EH=154. 類型 2 圓與相似的綜合 例 2 [2 0 1 8 東河區(qū)二模 ] 如圖 Z5 4, 在△ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 圖 Z5 4 (2 ) 證明 :∵ AD 是∠ BAC 的平分線 , ∴ ∠ CA D = ∠ DAB. ∵ O D =O A , ∴ ∠ OAD= ∠ ODA , ∴ ∠ CA D = ∠ ODA , ∴ AC ∥ OD ,∴ ∠ C= ∠ ODB= 90176。東河區(qū)二模 ] 如圖 Z5 4, 在△ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 (2 ) 求證 : BC 是☉ O 的切線 。東河區(qū)二模 ] 如圖 Z5 4, 在△ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 ,∴ E F =12AE=3 32. 在 Rt △ CF E 中 ,∵ ∠ C F E = 9 0 176。 .∵ ∠ PEC 是△AEC 的外角 ,∴ ∠ P E C= ∠ A+ ∠ A CE ,∴ ∠ A= 3 0 176。 ,∴ ∠ D= 1 5 176。 ∠P ) = 7 5 176。包頭樣題一 ] 如圖 Z5 3, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點 C 在☉ O 上 , 過點 C 的切線不 AB 的延長線交于點P , 過點 O 作 OD ⊥ AB 交☉ O 于點 D , 連接 CD 交 AB 于點 E , 連接 A C. (2 ) 若 P C= 3 , PB= 1, 求∠ D 的度數(shù)及 CE 的長 . 圖 Z5 3 (2 ) 設(shè) O B =O C=x ,∴ O P =x+ 1 . 在 Rt △ P C O 中 ,∵ OC2+P C2=O P2, P C= 3 ,∴ x2+ ( 3 )2= ( x+ 1)2,∴ x= 1, ∴ O C=O B = 1, OP= 2 .∵ s i n P=?? ???? ??=12,∴ ∠ P= 3 0 176。 . ∵ OD ⊥ AB 于點 O ,∴ ∠ D+ ∠ OED= 9 0 176。 (2 ) 若 P C= 3 , PB= 1, 求∠ D 的度數(shù)及 CE 的長 . 圖 Z5 3 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 O C. ∵ PC 是☉ O 的切線 , 點 C 是切點 , ∴ ∠ O CP = 9 0 176。 AB ,∴ AG= 6 . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 2 . [2 0 1 8 , OC ⊥ PC ,∴ ∠ CO F = 6 0 176。 , BF= 2, 求△ P CD 的周長和 AG 的長 . 圖 Z5 2 (2 ) 連接 CB ,∵ AB 為直徑 ,∴ ∠ A CB = 9 0 176。 . ∵ PE ⊥ AB ,∴ ∠ O A C + ∠ ADE= 90176。 (2 ) 若 D 為 AC 的中點 , 且∠ F= 3 0 176。 , A C= 3 cm, B C= 4 c m , 以 BC 為直徑作☉ O 交 AB 于點 D. (2 ) E 是線段 AC 上的一點 , 當點 E 在什么位置時 , 直線 ED 不☉ O 相切 ? 請說明理由 . 圖 Z5 1 (2 ) 當點 E 在 AC 的中點處時 , 直線 ED 不☉ O 相切 . 理由如下 : 如圖 , 連接 ED , EO , OD. ∵ ED 不☉ O 相切 ,∴ ∠ EDO= ∠ E CO = 9 0 176。 ?? ???? ??=125 cm . 又在 Rt △ ADC 中 , AD2=A C2 CD2, ∴ AD= 9 (125) 2=95(cm ) . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 例 1 [2 0 1 8 B C=12CD . 在 Rt △ A CB 中 , ∠ A C B = 9 0 176。 , A C= 3 cm, B C= 4 c m , 以 BC 為直徑作☉ O 交 AB 于點 D. (1 ) 求線段 AD 的長 。題型突破 (五 ) 有關(guān)圓的證明計算 TYPE 5 題型解讀 有關(guān)圓的計算、證明解答題的考查主要在第 24題 ,難度中等偏上 ,分值 10分 ,該題主要考查圓的切線的性質(zhì)不判定 ,考查圓不相似、三角函數(shù)等知識綜合的靈活應(yīng)用 .據(jù)閱卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計 ,考生在利用勾股定理、相似三角形及三角函數(shù)相關(guān)知識計算第 (2)問時 ,常由于作丌出合適的輔助線而對試題束手無策 ,因此建議在復習時需系統(tǒng)向考生灌輸相似、解直角三角形的基本圖形 ,以讓考生解題時靈活作出恰當?shù)妮o助線 . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 例 1 [2 0 1 8 棗莊 ] 如圖 Z5 1, 在 Rt △ A CB 中 , ∠ C= 9 0 176。 (2 ) E 是線段 AC 上的一點 , 當點 E 在什么位置時 , 直線 ED 不☉ O 相切 ? 請說明理由 . 圖 Z5 1 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 解 : ( 1 ) 如圖 , 連接 CD . ∵ BC 為☉ O 的直徑 ,∴ ∠ CD B = 9 0 176。 , A C= 3 cm , B C = 4 cm ,∴ AB= ?? ??2+ ?? ??2= 5 cm . ∵ S △ABC=12AC AB ,∴ CD =?? ?? 棗莊 ] 如圖 Z5 1, 在 Rt △ A CB 中 , ∠ C= 9 0 176。 ,∴ ED , EC 是切線長 ,∴ E D =E C. 又 ∵ O D =O C ,∴ EO 是線段 CD 的垂直平分線 ,∴ CD ⊥ EO. ∵ CD ⊥ AB ,∴ AB ∥ EO ,∴ OC ∶ O B =CE ∶ AE. ∵ O C=O B ,∴ A E =CE , 即 E 是 AC 的中點 . ∴ 當點 E 在 AC 的中點處時 , 直線 ED 不☉ O 相切 . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 針 對 訓 練 1 . 如圖 Z5 2, 已知 AB , AC 分別是☉ O 的直徑和弦 , G 為 ?? ?? 上一點 , GE ⊥ AB , 垂足為 E , 交 AC 于點 D , 過點 C 的切線不 AB 的延長線交于點 F , 不 EG 的延長線交于點 P , 連接 AG. (1 ) 求證 : △ P CD 是等腰三角形 。 , BF= 2, 求△ P CD 的周長和 AG 的長 . 圖 Z5 2 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 , 連接 O C. ∵ CF 是☉ O 的切線 , C 為切點 ,∴ OC ⊥ PC ,∴ ∠ P CD + ∠ A CO = 9 0 176。 . 又 ∵ O A =O C ,∴ ∠ O A C= ∠ A CO .∴ ∠ ADE= ∠ P D C= ∠ P CD ,∴ P D =P C , ∴ △ P CD 是等腰三角形 . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 針 對 訓 練 1 . 如圖 Z5 2, 已知 AB , AC 分別是☉ O 的直徑和弦 , G 為 ?? ?? 上一點 , GE ⊥ AB , 垂足為 E , 交 AC 于點 D , 過點 C 的切線不 AB 的延長線交于點 F , 不 EG 的延長線交于點 P , 連接 AG. (2 ) 若 D 為 AC 的中點 , 且∠ F= 3 0 176。 . 易證 Rt △ AED ∽ Rt △ A CB ,∴?? ???? ??=?? ???? ??. ∵ ∠ F= 3 0 176。 . 又 ∵ O B =O C ,∴ △ OBC 為等邊三角形 ,∴ B C=B F = 2, AB= 4, A C = 2 3 . ∵ D 為 AC 的中點 ,∴ A D =D C= 3 ,∴ DE=12 3 , AE=32,∴ FE=92, PE=32 3 ,∴ P D =P E DE= 3 ,∴ △ P CD 的周長為 3 3 . 連接 GB , 易得 Rt △ AGE ∽ Rt △ ABG ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ AG2=A E 包頭樣題一 ] 如圖 Z5 3, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點 C 在☉ O 上 , 過點 C 的切線不 AB 的延長線交于點P , 過點 O 作 OD ⊥ AB 交☉ O 于點 D , 連接 CD 交 AB 于點 E , 連接 A C. (1 ) 求證 : P C=P E 。 ,∴ ∠ O CD + ∠ P CD = 9 0 176。 . ∵ O C=O D ,∴ ∠ O CD = ∠ D ,∴ ∠ P CD = ∠ OED. 又 ∵ ∠ OED= ∠ PEC ,∴ ∠ P CD = ∠ PEC ,∴ P C=P E . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 2 . [2 0 1 8 .∵ P C=P E ,∴ ∠ P E C=12(1 8 0 176。 ,∴ ∠ OED= ∠ P E C= 7 5 176。 .∵ ∠ A CD =12∠ AOD ,∴ ∠ A CD = 4 5 176。 .∵ O E =O P PE= 2 3 ,∴ A E =A O +O E = 3 3 . 過點 E 作 EF ⊥ AC 于點 F , 在 Rt △ AEF 中 ,∵ ∠ AFE= 9 0 176。 ,∴ s i n ∠ A CE =?? ???? ??,∴ CE =3 2 62. 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 3 . [2 0 1 6 , ∠ BAC 的平分線 AD 交 BC 于點 D , 過點 D 作 DE ⊥ AD交 AB 于點 E , 以 AE 為直徑作☉ O. (1 ) 求證 : 點 D 在☉ O 上 。 (3 ) 若 A C= 6, B C= 8, 求△ BDE 的面積 . 圖 Z5 4 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD. ∵ △ ADE 是直角三角形 , O A =O E , ∴ O D =O A =O E , ∴ 點 D 在☉ O 上 . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 3 . [2 0 1 6 , ∠ BAC 的平分線 AD 交 BC 于點 D , 過點 D 作 DE ⊥ AD交 AB 于點 E , 以 AE 為直徑作☉ O. (2 ) 求證 : BC 是☉ O 的切線 。 . 又 ∵ OD 是☉ O 的半徑 ,∴ BC 是☉ O 的切線 . 類型 1 圓的切線的性質(zhì)與判定 3 . [2 0 1 6 , ∠ BAC 的平分線 AD 交 BC 于點