解排列組合應(yīng)用題的策略-展示頁(yè)
2025-06-16 22:44本頁(yè)面
【正文】 可連成的異面直線有358=174對(duì).20. 利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理.例20. 圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？【解析】因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有個(gè).【變式1】某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成，其中實(shí)線表示馬路，從到的最短路徑有多少種？【解析】可將圖中矩形的一邊叫一小段，從到最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過(guò)4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有種.【變式2】25人排成55方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？【解析】將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成33方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法．這樣每行必有1人，從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，3方隊(duì)中選3人的方法有種。例10. 1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種?！窘馕觥?. 定序問(wèn)題縮倍（空位插入）法:在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3. 五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A．24種 B．60種 C．90種 D．120種【解析】在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種，選.【變式1】7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？【解析】(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 解排列組合應(yīng)用題的策略排列組合問(wèn)題是高考的必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實(shí)踐證明，掌握題型和解題方法，識(shí)別模式，熟練運(yùn)用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1. 相鄰問(wèn)題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.例1. 五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A．60種 B．48種 C．36種 D．24種【答案】D【解析】把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種. 【變式1】7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.【解析】可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.【變式2】某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 【解析】沒(méi)命中的4槍有5個(gè)空，連續(xù)的命中的3槍捆綁到一起，和單獨(dú)命中的一槍插空，共有種方法.【解析2】用列舉法列舉出來(lái)123★★★★123★★★★123★★★★123★★★★123★★★★1232. 相離問(wèn)題插空排:元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.例2. 七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A．1440種 B．3600種 C．4820種
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