向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)-展示頁
2025-05-25 03:01本頁面
【正文】 (4) 向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個向量可以由其余向量線性表示。令則。證明：設(shè)為一組線性無關(guān)的向量。 后一個結(jié)論是前一個結(jié)論的逆否命題，因此也正確。證明：設(shè)，線性相關(guān)。證明：設(shè)，其中有一個為零，不妨假設(shè)，則因此，線性相關(guān)。，且任意都可以由其線性表示，且表示方法唯一。不全為零，不妨假設(shè)，則，故平行，即對應(yīng)分量成比例。例2. 兩個向量線性相關(guān)即它們平行，即其對應(yīng)分量成比例。因為，若線性相關(guān)，則存在數(shù)，使得，于是。特別的，若，則線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)可逆，當(dāng)且僅當(dāng)。 按照線性表示的矩陣記法，線性相關(guān)即齊次線性方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)。因此，向量組I與III等價。因此，因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由III線性表示，假設(shè)。至于傳遞性，簡單計算即可得到。(3) 傳遞性 若向量組I與II等價，向量組II與III等價，則向量組I與III等價。向量組等價的性質(zhì)：(1) 自反性 任何一個向量組都與自身等價。設(shè)，如果中每一個向量都可以由線性表示，則稱向量組可以由向量組線性表示。，寫成矩陣形式，即。這樣的表示是有好處的。.. .. .. ..向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)，稱為的一個線性組合。【備注1】按分塊矩陣的運算規(guī)則。 設(shè)，如果存在，使得則稱可由線性表示。因此，可由線性表示即線性方程組有解，而該方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)。如果向量組和向量組可以相互線性表示，則稱這兩個向量組是等價的。(2) 對稱性 若向量組I與II等價，則向量組II也與I等價。證明：自反性與對稱性直接從定義得出。設(shè)向量組I為，向量組II為，向量組III為。向量組I可由向量組II線性表示，假設(shè)。向量組
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