【正文】 。 實(shí)現(xiàn)這一過程所對(duì)應(yīng)的軸稱為 非真轉(zhuǎn)動(dòng)軸，或簡(jiǎn)稱為非真軸，用 Sn表示， n表示階，非真轉(zhuǎn)動(dòng) 2π／ n的操作也用符號(hào) Sn表示。 例： [PtCl4]2 , 環(huán)戊二烯，苯等。 對(duì)于 n為偶數(shù)的情況則不同： C4軸僅要求另外一個(gè)相伴隨的軸或面； C6軸：若存在一個(gè)垂直于 C6軸，或包含 C6軸的平面，則必存在另外兩個(gè)同類軸或平面伴隨。 討論： Cn1 Cn2 Cn3 …….. Cnn1 Cnn在復(fù)制其他對(duì)稱元素時(shí)的效應(yīng)，這些對(duì)稱元素是平面（包含 Cn軸）或軸（垂直于 Cn軸） 例： BF3分子 ***一定存在與第一個(gè)二重軸成 120度和 240度的另兩個(gè)二重軸；也一定存在與第一個(gè)反映面成 120度和 240度的另兩個(gè)反映面。 討論： Cn1 Cn2 Cn3 …….. Cnn1 Cnn在復(fù)制其他對(duì)稱元素時(shí)的效應(yīng)，這些對(duì)稱元素是平面（包含 Cn軸）或軸（垂直于 Cn軸） 例： BF3分子 對(duì)于階數(shù)為奇數(shù)的情況，會(huì)生成另外 n1個(gè)對(duì)稱元素。 C6軸： C61 C62 C63 C64 C65 C66 把 Cnm 寫成所謂的最低項(xiàng)： C61 C31 C21 C32 C65 E 極端的情況： 沒有 如 FClSO ， Cl2SO ， F2SO 線形分子，階數(shù)為無窮多。 H2O2中的 C2 (旋轉(zhuǎn)軸 上的橢圓形為 C2的 圖形符號(hào)。 Cnn+2=Cn2 一個(gè) n階真軸生成 n個(gè)操作： Cn1 Cn2 Cn3 …….. Cnn1 Cnn Cn軸存在則每種原子必須有確定的數(shù)目（軸上的原子不限 ） 分子中若存在一條軸線 ， 繞此軸旋轉(zhuǎn)一定角度 能使 分子 復(fù)原 ， 就稱此軸為 旋轉(zhuǎn)軸 , 符號(hào)為 Cn 。 Cnm Cnn=E 。 基轉(zhuǎn)角 ： 為了得到恒等構(gòu)型必須重復(fù)的生成等價(jià)構(gòu)型的最小轉(zhuǎn)動(dòng)角度（次數(shù)為 n）。 Cn， n為軸的 階 2π／ n為 基轉(zhuǎn)角 ； 階的意義： 在轉(zhuǎn)過 2π／ n后，得出一個(gè)等價(jià)構(gòu)型時(shí) n的最大值。 分子中所有原子的數(shù)目或除去一個(gè)以外（在原點(diǎn)上）， 所有原子數(shù)目必須成對(duì)出現(xiàn)， n次反演 ， in=E(n為偶數(shù) )， in=i（ n為奇數(shù)）。 ［ PtCl4］ 2和 [AuCl4]類型的平面分子有 多少個(gè) 對(duì)稱面？ Pt Cl Cl Cl Cl 正四面體有 6個(gè)對(duì)稱面 CH4,CCl4 對(duì)稱面： AB1B2， AB1B4， AB1B3， AB2B4， AB2B3， AB3B4 正八面體有多少個(gè)對(duì)稱面？ A B1 B2 B3 B4 三、反演中心 將坐標(biāo)原點(diǎn)位于分子中的某一點(diǎn)時(shí)，若每個(gè)原子的坐標(biāo)（ x1,y1,z1,） → （－ x1,－ y1,－ z1）時(shí)，可使分子進(jìn)入等價(jià)構(gòu)型，原點(diǎn)所在的點(diǎn)稱為反演中心或?qū)ΨQ中心。 一個(gè)對(duì)稱面只生成一個(gè)對(duì)稱操作； 標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)是 σ＝對(duì)稱操作， σ2＝ E 恒等操作 。 二、對(duì)稱面與反映（反映面） （ x1,y1,z1,） → （ x1,y1,z1） 從每一個(gè)原子向平面（對(duì)稱面）作垂線，把這條線向平面的反面延長(zhǎng)相當(dāng)?shù)木嚯x，并把原子移到線的另一端，若對(duì)分子中的所有原子都完成了這種操作則得到一個(gè)等價(jià)構(gòu)型，此平面就是對(duì)映面。 對(duì)稱操作的效果是引入了 等價(jià)構(gòu)型，即與原始情況不可區(qū)分，但不一定是 恒等構(gòu)型 。即它是將某一客體（ 物體、晶體、分子、實(shí)物、函數(shù) ）等變換為自身的操作， 一組完全的但不重復(fù)的對(duì)稱操作組成一個(gè)數(shù)學(xué)群 。因此可以將幾何對(duì)稱性定義為： 若能對(duì)幾何形體施行某種操作使它的位置完全復(fù)原，就可以說這形體具有幾何對(duì)稱性。下面給出具有幾何對(duì)稱性的一些例子。對(duì)稱的概念還在不斷被科學(xué)賦予新意。晶體的宏觀對(duì)稱 對(duì)稱的概念 對(duì)稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。 對(duì)稱性在日常生活中很常見，但對(duì)稱的概念還有更深邃和更廣泛的含義： 變換中的不變性；建造大自然的密碼；審美要素。 自然界中的對(duì)稱性隨處可見，對(duì)稱是自然界固有的一種屬性。 某個(gè)平面圖形具有對(duì)稱性 是指將它繞某個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度后能使圖形位置復(fù)原。 分子對(duì)稱性 一、 對(duì)稱操作 ： 對(duì)客體 (object)實(shí)施一個(gè)操作，若操作前后客體不可分辨，則該操作稱為對(duì)稱操作（ symmetry operation） 。 或者： 對(duì)稱操作是使物體作一種運(yùn)動(dòng)，完成這種運(yùn)動(dòng)后，物體的每一點(diǎn)都與物體原始取向時(shí)的等價(jià)點(diǎn)（可能是相同的點(diǎn)）相重合。 對(duì)稱元素： 進(jìn)行對(duì)稱動(dòng)作所依據(jù)的幾何元素，是一個(gè)幾何實(shí)體：直線、平面或點(diǎn)， 與對(duì)稱操作緊密相連， 對(duì)稱元素的存在取決于一個(gè)或多個(gè)對(duì)稱操作存在。 特殊的：平面型分子 *不位于對(duì)稱面上的給定種類的原子必須成對(duì)出現(xiàn)； *若分子中給定的原子的個(gè)數(shù)只有一個(gè)則必在兩個(gè)以上的平面的交線上或三個(gè)或三個(gè)以上的平面的交點(diǎn)上， 即這個(gè)原子必須在所有的對(duì)稱面上。 試找出分子中的鏡面 極端情況 : FClSO(有何對(duì)稱元素？ ) 線形分子 (有何對(duì)稱元素？ ) S F Cl O F H 大多數(shù)情況介于 2之間 一個(gè)對(duì)稱面； 水分子： 兩個(gè)對(duì)稱面（互相垂直） S F F Cl S F Cl Cl H H O AB2C2分子 兩個(gè)相互垂直的對(duì)稱面 NH3分子 有幾個(gè)對(duì)稱面？ CHCl3分子同此 B A B C C N H H H 將 N向下壓時(shí)不改變對(duì)稱性，得到極限情況－－平面，四個(gè)對(duì)稱面，同 BCl3， CO32， NO3， SO3一樣。 符號(hào)： i, 反演中心只能生成 一個(gè) 對(duì)稱操作。 具有反演中心例子： 八面體 AB6 平面分子 AB4 線形分子 ABA 苯 四、真軸，真轉(zhuǎn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)軸） 若圖形中可以找到一條直線，繞此直線將圖形旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，可使圖形復(fù)原， 則此直線稱為真軸或旋轉(zhuǎn)軸 ?；?yàn)榱说玫降葍r(jià)于而且是恒等與原始情況的構(gòu)型，所必須重復(fù)的，生成等價(jià)構(gòu)型的最小轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)?；蚴箞D形復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角度。 Cnn+1=Cn1 。旋轉(zhuǎn)可以實(shí)際進(jìn)行 ， 為真操作；相應(yīng)地 ， 旋轉(zhuǎn)軸也稱為真軸 。類似地，正 三角形、正方形、正六邊形分別是 C C4和 C6的圖形符號(hào)） 若有某種原子在 Cn軸之外，則該原子必須自動(dòng)地還有 n1個(gè)（共有 n個(gè)該原子）。 單個(gè)二重軸分子： H2O， CH2Cl2 沒有恰好具有兩個(gè)二重軸的分子（必推出第三個(gè)）？？ 乙烯分子： 正四面體型分子也具有 三個(gè)二重軸 (較難想象 ) 三角錐和平面型 AB3分子有 三個(gè)三重真軸 (3個(gè) C3) 正四面體也有 四 個(gè)三重真軸 (4個(gè) C3) 八面體型分子 AB6具有 四個(gè)三重軸 ， 每個(gè)都通過兩個(gè)相對(duì)的三角形表面的中心和 A原子 。 C3 C2 C2 C2 八面體的對(duì)稱性分析 : 一個(gè)反演中心 i, 九個(gè)反映面 σ,一個(gè)四階軸 (C4)，四個(gè) C3軸。 對(duì)于階數(shù)為奇數(shù)的情況，會(huì)生成另 n1個(gè)對(duì)稱元素。 C8軸：四個(gè)為一組的同類軸或面。 四、非真軸與非真轉(zhuǎn)動(dòng)（反軸） 非真轉(zhuǎn)動(dòng)可以想象為兩個(gè)步驟發(fā)生： 首先是轉(zhuǎn)動(dòng)， 然后通過垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面反映。 很明顯：若獨(dú)立地存在一個(gè) Cn軸和一個(gè)垂直于它的平面，那么就存在 Sn。 反式乙烷： 1 2 3 4 5 6 σ σ 1 2 3 4 5 6 C6 1 2 3 4 5 6 C6 1 2 3 4 5 6 ? 乙烷分子的兩種構(gòu)型 : 交錯(cuò)構(gòu)型的有 C3軸，但沒有垂直于 C3的對(duì)映面 ,卻有 S6軸。 轉(zhuǎn)動(dòng) 和 平面反應(yīng)操作與順序無關(guān)， 因此非真轉(zhuǎn)動(dòng)的定義不必指明次序。 四面體有三個(gè) C2軸，同時(shí)它們又是一個(gè) S4軸。 偶數(shù)和奇數(shù)所生成的操作集合不同 ， 假設(shè) Sn與 z軸重合， Sn操作的反映部分對(duì)應(yīng)的平面是 x， y面。 Snn ， Snn 表示每個(gè) Cn和 σ都被完成了 n次， 因?yàn)?n是偶數(shù)，σ的 n次操作是恒等操作，所以 Snn ＝ Cnn ＝ E， 并且 Snn ＋ 1＝ Sn， Snn ＋ 2＝ Sn2，依此類推， 當(dāng) m是偶數(shù)時(shí) Snm＝ Cnm, 所以在一組由偶數(shù)階 Sn所生成的操作中，某些 Snm可用其他方式寫出。 ＊ 此集合包含 C31 C32 E ，這正是 C3軸生成的操作 。 證明： 操作 Snn等價(jià)于 Cnn之后應(yīng)用 σn= σ有相同的效果，而 Cnn ＝ E，則 Snn ＝ σ，換言之元素 Sn生成一個(gè)對(duì)稱操作 σ（對(duì)應(yīng)的對(duì)稱元素 σ ）， 現(xiàn)在操作 Sn要求在平面 σ中反映，由此把構(gòu)型 Ⅰ 變成構(gòu)型 Ⅱ ，然后轉(zhuǎn)動(dòng) 2π／ n，把 Ⅱ 變成 Ⅲ 構(gòu)型，因?yàn)?Sn是一個(gè)對(duì)稱操作， Ⅰ 和 Ⅲ 必定是等價(jià)構(gòu)型， σ本身是個(gè)對(duì)稱操作 (n為奇數(shù) )， Ⅰ 也和 Ⅱ 等價(jià)，因而 Ⅱ 也等價(jià)于 Ⅲ ，所以轉(zhuǎn)動(dòng) 2π／ n把 Ⅱ 變到等價(jià)構(gòu)型 Ⅲ ，因而 Cn操作本身也是一個(gè)對(duì)稱操作。 S52 = C52 S53 = C53后 σ S54 = C54 除了用 S5n之外不能用其他方式表示這單一操作 S55 = C55后 σ S56 = C51 S57 = C52后 σ S58 = C53 S59= C54后 σ S510 = C55=E 以上各不相同但從 2n＋ 1開始重復(fù)這一排列 S51 = C5后 σ ::::: 開始重復(fù) ? ＊ 一般地，奇數(shù)階的 Sn生成 2n個(gè)操作；偶數(shù)階的Sn生成 n個(gè)操作。 記法： YX＝ Z “先完成 X操作，再完成 Y操作 ，給出和單個(gè)操作 Z相同的凈效應(yīng)”。 一個(gè)對(duì)稱操作產(chǎn)生兩個(gè)或多個(gè)對(duì)稱操作連續(xù)運(yùn)用的相同結(jié)果，通常稱為這一操作是其它操作的乘積 。 例如 ,先作二重旋轉(zhuǎn) ， 再對(duì)垂直于該軸的鏡面作反映 ， 等于對(duì)軸與鏡面的交點(diǎn)作反演 。 (假定兩個(gè)給定的軸與 x,y軸重合 ) （ X1， Y1， Z1） （ X1， － Y1， － Z1） （ － X1， － Y1， Z1） 若現(xiàn)在把 C2(z)作用于 （ X1， Y1， Z1） ， 該點(diǎn)被移動(dòng)到（－ X1， Y1， Z1） ,因此我們可以寫成 : C2(y) C2(x)= C2(z) 由此可見每當(dāng)存在 C2(x)和 C2(y)時(shí)，必定也存在 C2(z)因?yàn)樗撬鼈兊某朔e。 C2(x) C2(y) 我們已經(jīng)看到，操作 C4將生成與第一個(gè)平面成直角的第二個(gè)平面。 的平面， 這一點(diǎn)雖然不太明顯，但也是正確的。普通點(diǎn)（ X1， Y1， Z1）通過 xz平面的反映效果可以表為： σ(xz)［ x1， y1， z1] [x1， y1， z1] 繞 z軸順時(shí)針方向的 C4轉(zhuǎn)動(dòng)，作用于該點(diǎn)的效果可表為 C4(z)[x1,y1,z1] [y1,x1, z1］ 由這些關(guān)系可以決定依次應(yīng)用 σ(xz)，然后，應(yīng)用C4(z)的效果， 即 C4(z) σ(xz)［ x1， y1， z1] C4(z)[x1， y1， z1] [x1， y1， z1] 現(xiàn)在考慮通過平面 σd反映這個(gè)點(diǎn)的效果，平面 σd也包含z軸并平分 +y和 x軸之間以及 +x和 y軸之間的夾角，這一變換是 : σd［ x1， y1， z1] [y1 ， x1， z1] 我們