【正文】 去 ，從而變成典型的單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 。 在質(zhì)量偏離靜平衡位置最大時(shí) ， 速度為 0， 動(dòng)能也為 0， 而勢(shì)能達(dá)到最大 ， 利用能量守恒關(guān)系得到 Tmax＝ Vmax 同時(shí)還有下面的關(guān)系 利用上面兩式可以直接求固有頻率 。 質(zhì)量在靜平衡位置時(shí)彈簧的位移為 stmgkd ?nstkgm?d??則固有頻率為 自由振動(dòng)系統(tǒng) dst 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 39 復(fù)擺系統(tǒng)的固有頻率 用轉(zhuǎn)角 f?表示的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 : 0?? ff mg aJ O ??mg 則固有頻率 : OeqeqnJm gamk??? 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 40 純滾動(dòng)圓盤系統(tǒng) 用角度 f?表示的運(yùn)動(dòng)微分方程 : 0)(23 ??? ff grR ??則固有頻率 : )(32rRgmkeqeqn ???? 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 41 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng) 轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 0tJkqq??則固有頻率 : eq tneqk kmJ? ?? 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 42 梁的橫向振動(dòng)系統(tǒng) 利用振動(dòng)方程 048 3 ?? yl EIym ??固有頻率 : 348mlEImkeqeqn ???或利用材料力學(xué)公式計(jì)算出靜位移 : 348stmglEId ?固有頻率 : 348nstg E Iml?d?? 自由振動(dòng)系統(tǒng) dst 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 43 對(duì)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) ， 能量 （ 機(jī)械能 ） 是守恒的 。 2 2n fT?????第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 37 1. 直接計(jì)算法 即直接利用固有頻率的公式進(jìn)行計(jì)算 。 顯然 自由振動(dòng)系統(tǒng) 因此 ?n的物理意義是在 2?時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù) ， 單位為弧度 /秒 (rad/s)。 記作 f 自由振動(dòng)系統(tǒng) ??21 nTf ??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 36 固有頻率 ?n和頻率 f 只相差常數(shù) 2?， 因此經(jīng)常通稱為固有頻率 。 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 35 從方程的解中還可以看出 ， 系統(tǒng)屬于周期振動(dòng) ， 振動(dòng)的周期為 nT??2? 周期是系統(tǒng)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間 ， 單位為秒 （ s） 。 方程解中 的 A稱為振幅 ， 是質(zhì)量偏離靜平衡位置的最大距離 。 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 32 1. 方程的解 設(shè) 振動(dòng)微分方程的解 (P6) mkn ?2?則方程變?yōu)? 02 ?? xx n???通解為 12c o s s innnx b t b t????或 自由振動(dòng)系統(tǒng) 0?? kxxm ??第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 33 設(shè)系統(tǒng)的初始條件為： t＝ 0時(shí) ， x＝ x0， 0xx ?? ?01 0 2,nxb x b???22 0000, a r c t a n nnxxAxx?f???? ? ?????則可確定上述解中的常數(shù)為： 自由振動(dòng)系統(tǒng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 34 2. 概念與名詞 (P67) 一階線性振動(dòng)微分方程的解是時(shí)間 t 的簡(jiǎn)諧函數(shù) ， 因此這種振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 為方便起見(jiàn) ， 以后將等效質(zhì)量和等效剛度直接寫為 m和 k。 設(shè)梁長(zhǎng)為 l， 材料的彈性模量為 E， 截面慣性矩為 I。 設(shè) q為圓盤相對(duì)靜平衡位置轉(zhuǎn)過(guò)的角度 , J為圓盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 , kt為使軸產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需施加的扭矩(即軸的扭轉(zhuǎn)剛度 )。 已知質(zhì)量為 m， 彈簧的剛度系數(shù)為 k。 引 言 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 24 根據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式的不同，建立振動(dòng)微分方程的方法也不同，主要采用牛頓定律、動(dòng)力學(xué)基本定理（動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、動(dòng)量矩定理）以及拉格朗日方程等。 ? 許多實(shí)際問(wèn)題可以足夠精確地簡(jiǎn)化為單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 22 第 2章 單自由度系統(tǒng) 自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 23 ? 單自由度系統(tǒng) : 可以用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)確定系統(tǒng)的位置及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的振動(dòng)系統(tǒng) 。 解決振動(dòng)問(wèn)題的方法有理論分析 、 數(shù)值模擬與計(jì)算 、 實(shí)驗(yàn)研究等 。 第 1 章 導(dǎo) 論 21 （ 5） 按振動(dòng)的周期性分類 周期振動(dòng)系統(tǒng) 、 非周期振動(dòng) (瞬態(tài)振動(dòng) )系統(tǒng) 。 （ 4） 按振動(dòng)微分方程或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)特性分類 線性振動(dòng) :振動(dòng)系統(tǒng)的慣性力 、 阻尼力 、 彈性恢復(fù)力分別與加速度 、 速度 、 位移成線牲關(guān)系 ， 能夠用常系數(shù)線性微分方程表述的振動(dòng) 。 第 1 章 導(dǎo) 論 20 隨機(jī)振動(dòng) :不能用簡(jiǎn)單函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)的組合來(lái)表述其運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ， 只能用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究其規(guī)律的非周期性振動(dòng) 。 （ 2） 按振動(dòng)的輸出特性分類 分為簡(jiǎn)諧振動(dòng) 、 非簡(jiǎn)諧振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng) 。 例如：橋梁受風(fēng)載作用后激發(fā)的振動(dòng) 。 第 1 章 導(dǎo) 論 19 自激振動(dòng)：在系統(tǒng)自身控制的激勵(lì)作用下發(fā)生的振動(dòng) 。（ 如擺鐘 ） 受迫振動(dòng)或稱強(qiáng)迫振動(dòng) :系統(tǒng)受到外界持續(xù)的激勵(lì)作用而 “ 被迫地 ” 進(jìn)行振動(dòng) ， 其振動(dòng)特性除決定于系統(tǒng)本身的物理特性外 ， 還決定于激勵(lì)的特性 。 第 1 章 導(dǎo) 論 18 5. 振動(dòng)系統(tǒng)的分類 （ 1） 按產(chǎn)生振動(dòng)的輸入 (激勵(lì) ) 特性分類 分為自由振動(dòng) 、 強(qiáng)迫振動(dòng)和自激振動(dòng) 。 當(dāng)外界對(duì)系統(tǒng)作功時(shí) , 質(zhì)量就吸收動(dòng)能而具有運(yùn)動(dòng)速度 ， 進(jìn)而發(fā)生位移 ， 使彈性元件儲(chǔ)存變形能 , 因而就具有使質(zhì)量恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)的能力 。 任何結(jié)構(gòu) ， 之所以能產(chǎn)生振動(dòng) ， 是因?yàn)樗旧砭哂匈|(zhì)量和彈性 。阻尼表示力與速度的關(guān)系 。 阻尼力的分析比彈簧力的分析要復(fù)雜得多 。 阻尼 :任何振動(dòng)在沒(méi)有外界干擾 (激勵(lì) )時(shí)都會(huì)逐漸消失 ， 因此 ， 系統(tǒng)存在一種阻礙振動(dòng)持續(xù)進(jìn)行的阻力 ， 這種阻力稱為阻尼 。 彈簧 :表示振動(dòng)系統(tǒng)彈性的理想模型 。 第 1 章 導(dǎo) 論 16 質(zhì)量 :和理論力學(xué)的概念一樣 ， 是物體慣性大小的度量 。 本課程只學(xué)習(xí)一些基本的概念 。 這種力學(xué)模型不但要簡(jiǎn)單 ，而且在動(dòng)態(tài)特性方面 ， 應(yīng)盡可能地與原始結(jié)構(gòu)等效 。 （ 4） 環(huán)境預(yù)測(cè) 在已知系統(tǒng)響應(yīng) (輸出 )和系統(tǒng)參數(shù)的情況下確定系統(tǒng)的輸入 ,以判別系統(tǒng)的環(huán)境特征 。 第 1 章 導(dǎo) 論 14 （ 3） 系統(tǒng)識(shí)別 已知振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì) (輸入 )和響應(yīng) (輸出 )求系統(tǒng)參數(shù) ,以便了解系統(tǒng)的特性 。 對(duì)機(jī)器和結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)而言 ，這類問(wèn)題更為重要 。 這為計(jì)算和分析結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度 、 剛度 、 允許的振動(dòng)能量水平等提供了依據(jù) 。 第 1 章 導(dǎo) 論 12 （ 1） 響應(yīng)分析 已知系統(tǒng)和輸入?yún)?shù) ， 求系統(tǒng)響應(yīng) 。 理論上講 ， 只要知道兩者就可以確定第三者 。 確定性激勵(lì)下的響應(yīng)不一定是確定的 ，但隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)一定是隨機(jī)的 。 隨機(jī)激勵(lì)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 ，可以用隨機(jī)函數(shù)和隨機(jī)過(guò)程描述 。 振動(dòng)系統(tǒng)及參量 振動(dòng)系統(tǒng)的分類及研究方法 第 1 章 導(dǎo) 論 10 確定性激勵(lì) :可用時(shí)間的確定函數(shù)來(lái)描述的激勵(lì) 。 激勵(lì)或輸入：外界對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的作用或引起機(jī)器運(yùn)動(dòng)的力 。 ? 振動(dòng)技術(shù)的應(yīng)用 …… 第 1 章 導(dǎo) 論 9 1. 振動(dòng)問(wèn)題中的名詞概念 振動(dòng)系統(tǒng)：在振動(dòng)問(wèn)題中所研究的對(duì)象 。 ? 尋求控制和消除振動(dòng)的方法 。 ? 有時(shí)候振動(dòng)甚至釀成災(zāi)難性事故 , 如大橋因共振而倒塌 , 煙囪因風(fēng)振而傾倒 , 飛機(jī)因顫振而墜落等等 。 ? 由于振動(dòng) , 降低了機(jī)器的動(dòng)態(tài)精度和其它使用性能 。 ? 利用振動(dòng)原理設(shè)計(jì)出很多常用的物品和機(jī)械結(jié)構(gòu) ， 如擺鐘 、 振動(dòng)篩 、 振動(dòng)物料傳送帶 、 振動(dòng)打樁機(jī)械等等 。 第 1 章 導(dǎo) 論 6 一是由外界干擾引起 ， 二是結(jié)構(gòu)本身固有的原因引起 。 如 : 日常生活中 ， 心臟的跳動(dòng) 、 鐘擺的擺動(dòng) 、琴弦的振動(dòng) 、 車箱的晃動(dòng) 、 大海波濤橋等等 。 我們只研究物體在靜平衡位置附近所作的往復(fù)微小彈性運(yùn)動(dòng) 。 ? 力學(xué)基礎(chǔ) : 理論力學(xué) 、 分析力學(xué) 、 材料力學(xué) 、彈性力學(xué) 、 結(jié)構(gòu)力學(xué) 、 有限元等 。第 1 章 導(dǎo) 論 1 振動(dòng)力學(xué) 參考書(shū)目： 1. 王偉等 《 振動(dòng)力學(xué)與工程應(yīng)用 》 ,鄭州大學(xué)出版社 , 2022 2. 胡少偉等 《 結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論及其應(yīng)用 》 , 中國(guó)建筑工業(yè)出版社 , 2022 第 1 章 導(dǎo) 論 2 課程特點(diǎn)與學(xué)習(xí)方法 課程性質(zhì) : 力學(xué)專業(yè)課 課程特點(diǎn) : 理論繁雜 、 工程應(yīng)用性強(qiáng) 。與多門學(xué)科緊密相關(guān) … ? 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) : 微積分 、 微分方程 、 線性代數(shù) 、 復(fù)變函數(shù) 、 積分變換 、 計(jì)算方法 、 級(jí)數(shù)等 。 第 1 章 導(dǎo) 論 3 第 1章 導(dǎo) 論 ? 振動(dòng)的概念 ? 振動(dòng)研究的問(wèn)題及其分類 ? 振動(dòng)分析的力學(xué)模型 ? 振動(dòng)問(wèn)題的研究方法 第 1 章 導(dǎo) 論 4 1. 什么是振動(dòng) 振動(dòng) Vibration， 就是物體在 靜平衡位置附近 所作的 往復(fù)運(yùn)動(dòng) 。 機(jī)械振動(dòng)概述 第 1 章 導(dǎo) 論 5 2. 機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象 機(jī)械振動(dòng)是自然界非常普遍的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象 ，廣泛存在于工程技術(shù)和日常生活中 。 工程技術(shù)領(lǐng)域 ， 橋梁與建筑物的振動(dòng) 、 飛行器與船舶的振動(dòng) 、 機(jī)床與刀具的振動(dòng) 、 各種動(dòng)力機(jī)械的振動(dòng) 、 以及地震 、 風(fēng)振 、 噪聲等等 ， 都是屬于機(jī)械振動(dòng)的范疇 。 4. 研究振動(dòng)問(wèn)題的目的 ? 工程和日常生活中 ， 振動(dòng)現(xiàn)象和振動(dòng)問(wèn)題既有有用的一面也有不利的一面 。 第 1 章 導(dǎo) 論 7 而大多數(shù)情況下 , 振動(dòng)會(huì)產(chǎn)生不良 、 甚至嚴(yán)重 、 災(zāi)難性的后果 。 ? 由于振動(dòng) , 機(jī)器在使用過(guò)程中產(chǎn)生巨大的反復(fù)變動(dòng)的荷載 , 導(dǎo)致使用壽命的降低 。 第 1 章 導(dǎo) 論 8 5. 研究振動(dòng)問(wèn)題的總目標(biāo) ? 研究振動(dòng)產(chǎn)生的原因和它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 。 ? 振動(dòng)檢測(cè) ， 分析事故原因及控制環(huán)境噪聲 。 如機(jī)器或結(jié)構(gòu)物等 。 激勵(lì)或輸入是隨時(shí)間變化的 ， 將引起振動(dòng)的發(fā)生 。 隨機(jī)激勵(lì) :不能用時(shí)間的確定函數(shù)表示的激勵(lì) 。 響應(yīng)或輸出：機(jī)器或結(jié)構(gòu)在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)行為 。 第 1 章 導(dǎo) 論 11 2. 工程振動(dòng)分析的類別 振動(dòng)分析：研究振動(dòng)系統(tǒng) 、 激勵(lì) (輸入 )和響應(yīng) (輸出 )三者之間的關(guān)系 。 這樣 ， 工程振動(dòng)分析所要解決的問(wèn)題可以歸納為下面幾類 。包括位移 、 速度 、 加速度和力的響應(yīng) 。 第 1 章 導(dǎo) 論 13 （ 2） 系統(tǒng)設(shè)計(jì) 已知振動(dòng)系統(tǒng)激勵(lì) (輸入 )和所要滿足的動(dòng)態(tài)響應(yīng) (輸出 )的要求 ， 設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng)參數(shù) 。 通常系統(tǒng)設(shè)計(jì)要依賴于響應(yīng)分析 ，所以在實(shí)際工作中 ， 響應(yīng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)這兩個(gè)問(wèn)題是交替進(jìn)行的 。 系統(tǒng)識(shí)別包括物理參數(shù)識(shí)別 (確定系統(tǒng)的物理參數(shù) :質(zhì)量 、 剛度 、 阻尼等 )和模態(tài)參數(shù)識(shí)別 (確定或估計(jì)系統(tǒng)的固有特性 :固有頻率 、 振型等 )。 第 1 章 導(dǎo) 論 15 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)分析 ， 首先要把所研究的對(duì)象以及外界對(duì)它的作用和影響簡(jiǎn)化為理想的力學(xué)模型 。 實(shí)際工程結(jié)構(gòu)力學(xué)模型的建立 , 是振動(dòng)分析中很關(guān)鍵很難的一步 。 振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)基本模型中包括三個(gè)基本 “ 元件 ” ：質(zhì)量 、 彈性和阻尼 。 在振動(dòng)模型中簡(jiǎn)化為剛體 。 簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的線彈性元件 ， 即彈簧彈性力的大小與彈簧兩端點(diǎn)的相對(duì)位移成正比 。 簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的阻力元件 。 第 1 章