【正文】 ?22 當(dāng) a=1， d=–1時(shí)，圖形對 X軸對稱即 ????????1001T當(dāng) 時(shí)，圖形對 +45度線對稱 當(dāng) 時(shí)，圖形 –45度線對稱 ???????0110T????????? 0110T圖形對 +45度線對稱 圖形對 45度線對稱 23 （ 3） 錯切變換 當(dāng)變換矩陣中的 a=d=1， b與 c中一個為零，另一個為正 數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，即 ，它對圖形的作用是使圖 形產(chǎn)生沿一個坐標(biāo)方向錯切。39。239。439。 圖 (c)是取 a=2,d= 1234變換結(jié)果，變換后圖形在 X方向放大，在 Y方向縮小。 若 a≠d 時(shí) ， 使圖形在 X和 Y兩個方向產(chǎn)生不相等比例變換 。39。239。439。 ????????yx18 a1， d=1， 變換后圖形沿 X方向放大 當(dāng) a=1， d1時(shí)，則使圖形沿 Y方向放大 19 ② 若取 a=1， d=0， 圖形沿 Y方向壓縮成線段 ， 如下圖所示 當(dāng) a=1， d=1變換后圖形沒有變化 ， 稱這種變換矩陣為恒等矩陣 。00 yxdyaxdayx ????????①若取 a=3 d=1 對點(diǎn)（ 2， 3）做變換 ,則 可以看出， a1， d=1， 變換后圖形沿 X方向放大， 顯然，當(dāng) 0a1， d=1時(shí)，使圖形沿 X方向縮小 當(dāng) a=1， d1時(shí)，則使圖形沿 Y方向放大 ?? ? ? ? ?3610033239。 ??????? dbcaT17 2． 二維基本變換的矩陣表示 （ 1）比例變換 若令變換矩陣 則寫成矩陣形式為： ??????? daT 00? ? ?? ?? 39。 這是我們熟悉的關(guān)于直角坐標(biāo)變換因子。yxyxdybxcyaxdbcayx ??????????16 ???????dybxycyaxx39。39。具體說就 是由構(gòu)成圖形的點(diǎn)集的矩陣與 T= 矩陣乘法運(yùn)算， 即 我們稱 T= 為二維圖形變換矩陣，其中點(diǎn)集中任 意一點(diǎn)（ x， y） 變換后坐標(biāo)為： ???ca???db?????????????????????????????????????????????????????nnnnnncybxdybxdybxcyaxcyaxcyaxdbcayyyxxx.........221122112121?????? dbca? ? ?? ???? 是變換后的坐標(biāo)式中 39。由此，一個由 n個點(diǎn)的坐標(biāo)組成的復(fù)雜圖形可以用 n 2階矩陣表示： ???????????nxxxx...321???????????nyyyy...321這種圖形的表示法稱為二維圖形的矩陣表示法。在解析幾何學(xué)中。 錯切變換不僅改變圖形的形狀 ， 而且改變圖形的方位 ，但圖形中的平行關(guān)系不變 ， 13 一般把上述變換統(tǒng)稱為基本的圖形變換 ， 絕大部分復(fù)雜的圖形變換都可以通過這些基本交換的適當(dāng)組合來實(shí)現(xiàn) 。 = x， y39。 = x + cy， y39。 y39。 = y 對稱變換只改變圖形方位 ， 不改變其形狀和大小 。 這一變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為： x39。 = x， y39。 = y 與此類似 ， 若變換前后的圖形關(guān)于 Y軸對稱 ， 則稱為關(guān)于 Y軸的對稱變換 。） 與變換前的對應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn) （ x， y） 的關(guān)系為： x39。 經(jīng)過這一變換后的坐標(biāo)點(diǎn) （ x39。 = xcosθ ysinθ y39。 = ySy； 這一變換稱為比例變換 。） 的表達(dá)式為 x39。 平移變換只改變圖形的位置 ， 不改變圖形的大小和形狀 ty tx 8 （ 2） 比例變換 一個圖形中的坐標(biāo)點(diǎn) （ x， y） ， 若在 X軸方向有一個比例系數(shù) Sx， 在 Y軸方向有一個比例系數(shù) Sy， 則該圖形的新坐標(biāo)點(diǎn) （ x39。 如果對一圖形的每個點(diǎn)都進(jìn)行上述變換 ， 即可得到該圖形的平移變換 。 = x + tx， y39。 y39。 對二維圖形進(jìn)行幾何變形有五種基本變換形式，它們是：平移、旋轉(zhuǎn)、比例、對稱和錯切。 二維平面圖形的輪廓線 ， 不論是由直線段組成（ 多邊形 ） ， 還是由曲線段組成 ， 都可以用它的輪廓線上順序排列的平面點(diǎn)集來描述 ， 例如長方形 ABCD，是由四個角點(diǎn) A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， C（ x3， y3） ，D（ x4， y4） 順序連接而成 ， 為了使畫出的圖形是閉合的 ， 首尾兩點(diǎn)必須連接 。我們先來討論點(diǎn)的幾何變換的函數(shù)表示。由于一個二維圖形可以分解成點(diǎn)、直線、曲線。 這些圖形變換的效果雖然各不相同 ， 本質(zhì)上卻都是依照一定的規(guī)則 ， 將一個幾何圖形的點(diǎn)都變?yōu)榱硪粋€幾何圖形的確定的點(diǎn) ， 這種變換過程稱為幾何變換 。 3 圖形變換分類 圖形變換有兩種形式： 視象變換 :圖形不動，而坐標(biāo)系變動，即變換前與變換后的圖形是針對不同的坐標(biāo)而言的，也稱之為坐標(biāo)模式 幾何變換 :另一種是坐標(biāo)系不動，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標(biāo)值是針對同一坐標(biāo)系而言的，也稱之為圖形模式變換， 實(shí)際應(yīng)用中后種圖形變換更具有實(shí)際意義，我們討論的圖形變換主要是屬于后一種變換 4 二、二維圖形幾何變換的基本原理 1． 幾何變換 在計(jì)算機(jī)繪圖應(yīng)用中 ， 經(jīng)常要實(shí)現(xiàn)從一個幾何圖形到另一個幾何圖形的變換 。因此，圖形變換是計(jì)算機(jī)繪圖基本技術(shù)之一，利用它可以用一些很簡單的圖組合成相當(dāng)復(fù)雜的圖，可以把用戶坐標(biāo)系下的圖形變換到設(shè)備坐標(biāo)系下。1 第 4章 二維變換及二維觀察 2 二維圖形變換 一、圖形變換基本概念 定義 即對原圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮小或放大等變換操作 。 在計(jì)算機(jī)圖形顯示或繪圖輸入過程中，往往需要對圖形指定部分的形狀、尺寸大小及顯示方向進(jìn)行修改，以達(dá)到改變整幅圖形的目的，這就需要對圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮小或放大等變換操作。利用圖形變換還可以實(shí)現(xiàn)二維圖形和三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯討B(tài)圖形，從而實(shí)現(xiàn)景物畫面的動態(tài)顯示，下面主要討論二維圖形變換。 例如 ， 將圖沿某一方向平移一段距離；將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；或?qū)D形放大；反之把圖形縮小等等 。 幾何變換的規(guī)則是可以用函數(shù)來表示的。把曲線離散化，它可以用一串短直線段來逼近；而直線段可以是一系列點(diǎn)的集合，因此點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本幾何元素之一。 5 二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連線次序的情況下，對一個平面點(diǎn)集進(jìn)行的線性變換。 6 二維平面圖形變換的結(jié)果有兩種 ， 一是使圖形產(chǎn)生位置的改變；另一種是使圖形產(chǎn)生變形 ， 例如把圖形放大 。 7 2． 基本幾何變換的解析表示 （ l） 平移變換 平面上一點(diǎn) P（ x， y） ， 如果在 X軸方向的平移增量為tx， 在 Y軸方向平移增量為 ty時(shí) ， 則平移后所得新點(diǎn) P‘ (x39。)坐標(biāo)表達(dá)式為： x39。 = y + ty 我們把這一變換稱為平移變換 。 實(shí)際上 ， 直線的平移變換 ， 可以通過對其定義端點(diǎn)的平移變換來實(shí)現(xiàn) ， 對于其它類型的變換這種處理方法也是可行的 。 y39。 = xSx y39。 比例變換不僅改變圖形的位置 ， 而且改變圖形的大小 9 （ 3） 旋轉(zhuǎn)變換 若圖形中的坐標(biāo)點(diǎn) （ x， y） 繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個角度 θ ， 則該點(diǎn)變換后的新坐標(biāo) （ x‘， y’） 與交換前的坐標(biāo) (x， y)的關(guān)系為： x39。 = xsinθ + ycosθ 旋轉(zhuǎn)變換只能改變圖形的方位 ， 而圖形的大小和形狀不變 ， 10 （ 4） 對稱變換 如果經(jīng)過變換后所得到的圖形與變換前的圖形關(guān)于 X坐標(biāo)軸是對稱的 ， 則稱此變換為關(guān)于 X軸的對稱變換 。 y39。 = x， y39。 這一變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系： x39。 = y 當(dāng)圖形對 X軸和 Y軸都進(jìn)行對稱變換時(shí) ， 即得相對于原點(diǎn)的中心對稱變換 。 = x， y39。 11 12 （ 5） 錯切變換 如果變換前坐標(biāo)點(diǎn) （ x， y） 與變換后對應(yīng)的新坐標(biāo)點(diǎn) （x39。） 的關(guān)系為： x39。 = y 我們稱這一變換為沿 X軸的錯切變換 ， 式中 c為錯切系數(shù) 與此類似 ， 若變換前后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系為： x39。 = y + bx 則稱此變換為沿 Y軸的錯切變換 ， 其中 b為錯切系數(shù) 。 14 二 、 幾何變換的矩陣表示形式 ?1. 變換矩陣 任何一個復(fù)雜圖形都是由任意多個有序點(diǎn)集連線而成。在二維空間內(nèi)，平面上的點(diǎn)可以用一行兩列矩陣［ x y］ 或兩行一列矩陣來表示。 15 由此可知，圖形的變換可用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。39。39。39。 由上式可知，變換矩陣 中各元素決定著圖形 各種不同變換 。39。39。