【正文】 移到另一個位置 (x′ ， y′ )的變換。 y 180。 二維圖形變換 采用齊次坐標可將二維圖形變換表示成如下形式 ： a b 0 c d 0 l m 1 P 180。 y 180。 S 是整體比例變換。 齊次坐標 二維圖形變換矩陣 一般形式 ： a b p c d q l m s P 180。 齊次坐標的表示不是唯一的 ，通常當 h=1時 ， 稱為 規(guī)格化齊次坐標 。 同樣 ， 對于一個三維空間的向量 (x， y， z)， 它在四維空間中對應(yīng)的向量即齊次坐標為 (x h， y h， z h， h)， 其中 h≠ 0。 例如二維平面上的點 (x， y)的齊次坐標表示為 (h x， h y， h)， h是任一不為 0的比例系數(shù)。 比例變換 P′＝ P Ts Sx 0 0 Sy Sx、 Sy分別表示比例因子 。 二 . 圖形變換的過程 建立物體的 WC 變換到 VC 在 VC空間 進行裁剪 投影到 NDC 變換到 DC 在圖形設(shè)備上輸出 三 . 圖形變換的特點 圖形變換就是改變圖形的幾何關(guān)系，即改變圖形頂點的坐標，但圖形的拓撲關(guān)系不變。 第 6講 圖形變換 ? 二維幾何變換 – 基本變換與復合變換 ? 三維幾何變換 – 基本變換與復合變換 本講主要內(nèi)容 ? 圖形變換的數(shù)學基礎(chǔ) ? 二維圖形的基本變換、復合（組合）變換； ? 三維圖形基本變換、復合（組合）變換； ? 平行投影 ? 透視投影 圖形變換的數(shù)學基礎(chǔ) ? 矢量運算 ? 矩陣運算 ? 矩陣 ? 單位矩陣 ? 逆矩陣 ? 轉(zhuǎn)置矩陣 ? 行列式 上機編程，實現(xiàn)兩個矩陣相乘 特別注意： 矩陣相乘不適合交換律 變換的數(shù)學基礎(chǔ) (1/4) ? 矢量 – 矢量和 ???????????zyxuuuU???????????zyxvvvV???????????????zzyyxxvuvuvuVU變換的數(shù)學基礎(chǔ) (2/4) – 矢量的數(shù)乘 – 矢量的點積 ? 性質(zhì) ????????????zyxkukukuUkzzyyxx vuvuvuVU ????UVVU ???VUVU ???? 000 ???? UUU變換的數(shù)學基礎(chǔ) (3/4) – 矢量的長度 ? 單位矢量 ? 矢量的夾角 – 矢量的叉積 222 zyx uuuUUU ?????VUVU????c oszyxzyxvvvuuukjiVU ??變換的數(shù)學基礎(chǔ) (4/4) ? 矩陣 – 階矩陣 – n階方陣 – 零矩陣 – 行向量與列向量 – 單位矩陣 – 矩陣的加法 – 矩陣的數(shù)乘 – 矩陣的乘法 – 矩陣的轉(zhuǎn)置 – 矩陣的逆 m n?齊次坐標 —用 n+1維向量表示 n維向量 ? 優(yōu)越性 ? 提供了用矩陣運算把二維三維甚至高維空間的點集從一個坐標系變換到另一個坐標系的方法。第三講 圖形變換 圖形變換是計算機圖形學的基礎(chǔ)內(nèi)容。有二維（三維）圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、變比、對稱等變換，三維圖形的投影透視變換等。 ? 可以表示無窮遠的點 圖形幾何變換 ? 基本原理： – 按某種規(guī)律，改變圖形的形狀、大小、位置等 ? 方法： – 坐標系不動，圖形變動后坐標值變化； – 坐標系變化后圖形在新坐標系中的新值。 最基本的圖形變換可以分別用矩陣形式表示為： 平移變換 P′＝ P＋ Tm Tm＝ [Mx My] Mx、 My分別為 X方 向和 Y方向的平移量 。 旋轉(zhuǎn)變換 P＇＝ P Tr cosθ sinθ sinθ cosθ θ＞ 0時為逆時針旋轉(zhuǎn) θ＜ 0時為順時針旋轉(zhuǎn) Ts＝ Tr＝ 四 . 齊次坐標 從形式上來說，用一個有 n+1個分量的向量去表示一個有 n 個分量的向量的方法稱為齊次坐標表示。 給定一個點的齊次坐標表示 : (x， y， h)， 該 點的二維笛卡兒直角坐標： (x / h， y / h)。 齊次坐標的概念可以推廣到 n維空間的向量 。 ? 為什么需要齊次坐標？ 多個變換作用于多個目標 變換合成 變換合成的問題 引入齊次坐標 變換的表示法統(tǒng)一 – 齊次坐標表示的優(yōu)點： – 可方便地用變換矩陣實現(xiàn)對圖形的變換； – 齊次坐標表示法可以表達無窮遠點 。 = P ? T2D （二維仿射變換 : p=q=0） 二維變換矩陣中 ： a b c d [ l m] 是對圖形進行平移變換。 （非仿射變換） p,q 用于投影變換（三維點時使用） [ x180。 1 ] = [ x y 1 ] 是對圖形進行縮放 、 旋轉(zhuǎn) 、 對稱 、 錯切等變換 。 = P ? M 二維變換矩陣中 ： a b c d [ l m] 是對圖形進行平移變換 [ x180。 1 ] = [ x y 1 ] 變換后的頂點坐標 變換前的頂點坐標 二維變換矩陣 是對圖形進行縮放 、 旋轉(zhuǎn) 、 對稱 、 錯切等變換 。 P39。 39。 = PS sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 S (sx, sy ) = 1/sx 0 0 0 1/sy 0 0 0 1 S1 (sx, sy ) = 比例變換示例 (x, y) (x’, y’) x y 比例變換 ? 比例 因子 – if sx , sy 1, 物體被拉伸 – if 0 sx , sy 1, 物體被壓縮 – if sx , sy 0,物體被倒影 ? 均勻 /非均勻 比例變換 – if sx = sy ,均勻 比例變換 – if sx ? sy , 非均勻 比例變換 旋轉(zhuǎn)變換 x y f ? (x, y) (x’, y’) 旋轉(zhuǎn)變換 ?Remember 旋轉(zhuǎn)方向 旋轉(zhuǎn)角度 旋轉(zhuǎn)中心 旋轉(zhuǎn)是剛體變換 x ? P(x, y) P’ (x’, y’) y ? 旋轉(zhuǎn)變換 – 點 P(x,y)的極坐標表示 – 繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角度 （ 逆時針為正 ， 順時針為負 ） ?P39。=ax+by+m y 180。 = P T 二維復合變換（組合變換） 任何一復雜的幾何變換可以看成基本集合變換的組合： P39。T = P T2 Tn ? 復合平移 ? 復合比例 ? 復合旋轉(zhuǎn) 其他常見復合變換 ? 相對于某個參考點的幾何變換（比例、旋轉(zhuǎn)等） ? 相對于某直線的幾何變換（對稱等） 相對于某個參考點的幾何變換（比例、旋轉(zhuǎn)等） ? 求某點 P相對于固定點 F（ xF,yY）旋轉(zhuǎn)一個角度 的變換矩陣 T。 ?例：求 P(5,4)繞 F(3,2)逆時針旋轉(zhuǎn) 45度的 變換矩陣，以及變換后 P點的新坐標 P180。 – 關(guān)于任意軸的對稱變換 課堂練習（一） ? 回答下列問題： 1. 什么是齊次坐標？為什么要用規(guī)范化的齊次坐標？ 2. 什么是二維仿射變換？有哪些不變性？寫出它的變換形式（用矩陣表示） 課堂練習（二） ? 證明題 1. 證明兩個連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換（或變比例變換）的矩陣運算具有互換性。 2. 證明二維點相對于 X軸作對稱，緊跟著相對于 y=x直線作對稱變換，完全等價于該點相對于坐標原點作旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)角度是多少？） 課堂練習（三） ? 推導題 1. 試推導將二維平面上任意直線段 P1（ x1,y1）與 P1（ x1,y1），轉(zhuǎn)換成與 X軸重合的變換矩陣（線段P1P2與 X軸的夾角小于 45度）。例如： 已知點 P（ 8， 12），直線 L的方程為： x2y+6=0， 請推導并計算該點相對于作對稱變換的矩陣 T，使點 P的對稱點 P180。