直接證明與間接證明(2)-展示頁(yè)
2025-05-09 02:53本頁(yè)面
【正文】 列，所以 b ＝a ＋ c2， 代入上式得? a ＋ c ?24＝ a2＋ c2－ ac ， 整理得 3 ( a － c )2＝ 0 ，所以 a ＝ c ，從而 A ＝ C ， 而 B ＝π3，則 A ＝ C ＝π3， 從而 △ ABC 為等邊三角形 ． 【點(diǎn)評(píng)】 綜合法是一種由條件到結(jié)論的證明，在證明的過(guò)程中要注意書(shū)寫(xiě)格式，答題過(guò)程的規(guī)范是個(gè)非常重要的基本功，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇痤}是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)優(yōu)良品質(zhì)的具體表現(xiàn)，也是高考數(shù)學(xué)高分的必要保障 ． 已知 a ， b ， c 為正實(shí)數(shù) ， a ＋ b ＋ c ＝ 1. 求證 ： a2＋ b2＋ c2≥13. 素材 1 【證明】 方法 1 ： a2＋ b2＋ c2－13＝13( 3 a2＋ 3 b2＋ 3 c2－ 1 ) ＝13[ 3 a2＋ 3 b2＋ 3 c2－ ( a ＋ b ＋ c )2] ＝13( 3 a2＋ 3 b2＋ 3 c2－ a2－ b2－ c2－ 2 ab － 2 ac － 2 bc ) ＝13[( a － b )2＋ ( b － c )2＋ ( c － a )2] ≥ 0. 所以 a2＋ b2＋ c2≥13. 方法 2 ： 因?yàn)?( a ＋ b ＋ c )2＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2 ab ＋ 2 ac ＋ 2 bc ≤ a2＋b2＋ c2＋ a2＋ b2＋ a2＋ c2＋ b2＋ c2， 所以 3 ( a2＋ b2＋ c2) ≥ ( a ＋ b ＋ c )2＝ 1 ， 所以 a2＋ b2＋ c2≥13. 方法 3 ：設(shè) a ＝13＋ α ， b ＝13＋ β ， c ＝13＋ γ . 因?yàn)?a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，所以 α ＋ β ＋ γ ＝ 0. 所以 a2＋ b2＋ c2＝ (13＋ α )2＋ (13＋ β )2＋ (13＋ γ )2 ＝13＋23( α ＋ β ＋ γ ) ＋ α2＋ β2＋ γ2 ＝13＋ α2＋ β2＋ γ2≥13. 所以 a2＋ b2＋ c2≥13. 二 分析法及應(yīng)用 【例 2 】 已知 a b c ， 且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， 求證 ： b2－ ac 3 a . 【分析】 本例可從結(jié)果入手，執(zhí)果索因，逐步推證出恒成立的條件． 【解析】 要證 b2－ ac 3 a ， 只需證 b2－ ac 3 a2， 只需證 b2＋ a ( a ＋ b ) 3 a2， 只需證 2 a2－ ab － b20 ， 只需證 ( a
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