【正文】 公式代表一個命題，但只有當(dāng)公式中的每一個命題變元都用一個確定的命題代入時，命題公式才有確定的真值，成為命題。（ Q∧ R）） 解 （ 1） 不是命題公式。 例 1 下列符號串是否為命題公式。） （ 1） 0， 1是命題公式； （ 2） 命題變元是命題公式； （ 3） 如果 A是命題公式，則 172。 15 3. 命題公式 命題公式（或簡稱公式）是由 0、 1和命題變元以及命題聯(lián)結(jié)詞按一定的規(guī)則產(chǎn)生的符號串。 2．命題變元 一個沒有指定具體內(nèi)容的命題符號。 則該命題可表示為 （ P∧ 172。Q （ 2） 如果晚上做完了作業(yè)并且沒有其它的事，他就會看電視或聽音樂。 則該命題可表示為 172。 ( 是 假 ) ( 不是 ) ( 是 真 ) ( 不是 ) 2． 將下列命題符號化 （ 1） 我看見的既不是小張也不是老李。 （ 2） X+6=Y （ 3） 銀是白的。 13 練習(xí) 71 1. 判斷下列語句哪些是命題，若是命題，則指出其真值。 則命題可表示為 （ 172。Q ） → 172。 則命題可表示為 P→ （ Q?R ） （ 4） 令 P：李明是體育愛好者； Q：李明是文藝愛好者。(P∧ Q） 。 （ 2） 令 P：我們劃船； Q：我們跑步。 解 （ 1） 令 P：派小王出差； Q：派小李出差。 Q） （ 3） 172。R； （ 4） R→ （ 172。P ∧ 172。 解 令 P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去學(xué)校。 （ 3） 如果明天早上不是雨夾雪，那么我去學(xué)校。 例 12 用符號形式表示下列命題。 11 三、命題符號化 利用聯(lián)結(jié)詞可以把許多日常語句符號化。 10 例 11 黃山比喜馬拉雅山高 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 3是素數(shù) 令 P：黃山比喜馬拉雅山高； Q： 3是素數(shù) 本例可符號化為 P?Q 從漢語的語義看， P與 Q之間并無聯(lián)系，但就聯(lián)結(jié) 詞 ?的定義來看，因為 P的真值為假， Q的真值為真， 所以 P?Q的真值為假。 解 令 P：某人是倉庫工作人員； Q：某人可以進入倉庫。 當(dāng) P和 Q的真值相同時 ,P? Q取真 ,否則取假。 例 9 若 P：雪是黑色的； Q：太陽從西邊升起； R：太陽從東邊升起。 解 令 P：我得到這本小說； Q：我今夜就讀完它。 P Q P→ Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 例 8 將命題“如果我得到這本小說，那么我今夜就讀完它。 P Q P∨ Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 8 4. 蘊含“ → ” 定義 94 由命題 P和 Q利用 “ → ” 組成的復(fù)合命題，稱為蘊含式復(fù)合命題，記作 “ P→Q ”（讀作 “ 如果 P，則Q”）。 由于 “ ∨ ”可用“ ∨ ”，“ ∧ ”和“ 172。Q ∨ (172。 令 P：今天晚上我在家看電視。 7 設(shè) P、 Q是兩個命題， P異或 Q是一個復(fù)合命題，記作 P∨Q 。 解 令 P：他可能是 100米賽跑冠軍； Q：他可能是 400米賽跑冠軍。 P Q P∨ Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 例 6 將命題“他可能是 100米或 400米賽跑的冠軍。 ” P Q P∧ Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 6 3. 析取“ ∨ ” 定義 93 由命題 P和 Q利用 “ ∨ ” 組成的復(fù)合命題，稱為析取式復(fù)合命題，記作 “ P∨Q ”（讀作 “ P或 Q”）。 Q：房間里有十張桌子。 當(dāng)且僅當(dāng)命題 P和 Q均取值為真時， P ∧ Q才取值為真。 P 172。 172。則有 172。P取值為真。 命題 P取值為真時，命題 172?！焙?P組成的復(fù)合命題稱為 P的否命題，記作“ 172。 1. 否定“ 172。 C：如果明天天氣晴朗，那么我們舉行運動會。 例 3 A：李明既是三好學(xué)生又是足球隊員。 P：地球外的星球上也有人； Q：小王是我的好朋友； 解 P、 Q是命題 3 二、命題聯(lián)結(jié)詞 原子命題 ： 由簡單句形成的命題。分別用 “ 1”和“ 0”表示 命題用大寫的拉丁字母 A、 B、 C、 ……P 、 Q、 …… 或 者帶下標的大寫的字母來表示。（ 6）啊，真美呀！ (7) 明年春節(jié)是個大晴天。 （ 3）南京是中國的首都。 （ 1）空氣是人生存所必需的。 主要內(nèi)容如下： 命題和命題聯(lián)結(jié)詞 命題公式 命題公式的等值關(guān)系和蘊含關(guān)系 范式 命題演算的推理理論 2 命題和命題聯(lián)結(jié)詞 一、 命題的概念 命題 ： 是能分辨真假的陳述句。首先引入命題、命題公式等概念。因此 , 數(shù)理邏輯又稱為符號邏輯。1 第九章 命題邏輯 數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究思維規(guī)律的一門學(xué)科。所謂數(shù)學(xué)方法是指 :用一套數(shù)學(xué)的符號系統(tǒng)來描述和 處理思維的形式與規(guī)律。本章介紹數(shù)理邏輯中最基本的內(nèi)容命題邏輯。然后 ,在此基礎(chǔ)上研究命題公式間的等值關(guān)系和蘊含關(guān)系 ,并給出推理規(guī)則 ,進行命題演繹。 例 1 判斷下列語句是否是命題。 （ 2）請把門關(guān)上。 （ 4）你吃飯了嗎？ （ 5） x=3。 解 語句（ 1） ,（ 3） ,（ 5）， (7)是陳述句 （ 1）、（ 3）、 (7)是命題 用真值來描述命題是 “ 真 ” 還是 “ 假 ” 。 例 2 判斷下列陳述句是否是命題。 復(fù)合命題： 由一個或幾個原子命題通過聯(lián)結(jié)詞的聯(lián)接而構(gòu)成的命題。 B：張平或者正在釣魚或者正在睡覺。 4 定義五種聯(lián)結(jié)詞（或稱命題的五種運算）?！? 定義 91 設(shè) P是一個命題，利用“ 172。P” (讀作“非 P”)。P取值為假；命題 P取值為假時，命題 172。 例 4 設(shè) P：上海是一個城市； Q：每個自然數(shù)都是偶數(shù)。 P：上海不是一個城市 。Q：并非每個自然數(shù)都是偶數(shù)。P 1 0 0 1 5 2．合取“ ∧ ” 定義 92 設(shè) P和 Q是兩個命題，由 P、 Q利用“ ∧ ”組成的復(fù)合命題，稱為合取式復(fù)合命題，記作“ P ∧ Q”（讀作“ P且 Q”）。 例 5 設(shè) P：我們?nèi)タ措娪啊tP ∧ Q表示 “ 我們?nèi)タ措娪安⑶曳块g里有十張桌子。 當(dāng)且僅當(dāng) P和 Q至少有一個取值為真時， P∨Q 取值為真?！狈柣?。 則命題可表示為 P∨ Q。 例 7 今天晚上我在家看電視或去劇場看戲。 Q：今天晚上我去劇場看戲 例 7中的命題可表示為 P ∨ Q，或者表示為（ P∧ 172。P∧ Q)。 ”表示，故我們不把它當(dāng)作 基本 聯(lián)結(jié)詞。 當(dāng) P為真， Q為假時， P→ Q為假，否則 P→Q 為真?！狈柣? 于是上述命題可表示為 P→Q 。 則 P→Q 和 P→R 所表示的命題都是真的 . 9 5．等值“ ? ” 定義 95 由命題 P和 Q，利用“ ? ”組成的復(fù)合命題，稱為等值式復(fù)合命題，記作“ P?Q” （讀作“ P當(dāng)且僅當(dāng) Q”）。 ?P Q P Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 例 10 非本倉庫工作人員，一律不得入內(nèi)。 則上述命題可表示為 P?Q 。 對于上述五種聯(lián)結(jié)詞 ， 應(yīng)注意到： 復(fù)合命題的真值只取決于構(gòu)成它的各原子命題的真 值 ， 而與這些原子命題的內(nèi)容含義無關(guān) 。基本步驟如下： （ 1）從語句中分析出各原子命題，將它們符號化； （ 2）使用合適的命題聯(lián)結(jié)詞，把原子命題逐個聯(lián)結(jié)起來，組成復(fù)合命題的符號化表示。 （ 1） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去學(xué)校 （ 2） 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去學(xué)校。 （ 4） 只有當(dāng)明天早上不下雨且不下雪時，我才去學(xué)校。 （ 2）（ 172。Q） → R； （ 1）（ P∨ Q） → 172。P ∧ 172。(P∧ Q） → R； 12 例 13 將下列命題符號化 （ 1） 派小王或小李出差； （ 2） 我們不能既劃船又跑步； （ 3） 如果你來了，那么他唱不唱歌將看你是否伴奏而定； （ 4） 如果李明是體育愛好者，但不是文藝愛好者，那么 李明不是文體愛好者； （ 5） 假如上午不下雨，我去看電影，否則就在家里看書。 命題符號化為 P∨ Q。則命題可 表示為 172。 （ 3） 令 P：你來了； Q：他唱歌； R：你伴奏。 則命題可表示為 （ P ∧ 172。（ P ∧ Q） （ 5） 令 P：上午下雨； Q：我去看電影； R：我在家讀書。P → Q） ∧ （ P→ R） 。 （ 1） 只有小孩才愛哭。 （ 4） 起來吧，我的朋友。 解 令 P：我看見的是小張； Q：我看見的是老李。P∧ 172。 解 令 P：他晚上做完了作業(yè)； Q：他晚上有其它的事； R：他看電視； S：他聽音樂。Q） → （ R∨ S） 14 命題公式 一 、 命題公式的概念 1. 命題常元 一個表示確定命題的大寫字母。 一個命題變元當(dāng)沒有對其賦予內(nèi)容時，它的真值不能確定，一旦用一個具體的命題代入，它的真值就確定了。 定義 96 （命題公式的遞歸定義。A 是命題公式； （ 4） 如果 A和 B是命題公式，則（ A∨ B）， （ A∧ B） ,(A→B ） ,(A? B ）也是命題公式； 有限次地利用上述（ 1） —（ 4）而產(chǎn)生的符號串是命題公式。