高中數(shù)學必修5第二章數(shù)列復習知識點總結與練習一-展示頁
2025-04-26 12:49本頁面
【正文】 ＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.(2)證明：對于任意n∈N*，∵bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)－3]＝[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴數(shù)列{bn}是首項為＝＝0，公差為1的等差數(shù)列．由題悟法1．證明{an}為等差數(shù)列的方法：(1)用定義證明：an－an－1＝d(d為常數(shù)，n≥2)?{an}為等差數(shù)列；(2)用等差中項證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列；(3)通項法：an為n的一次函數(shù)?{an}為等差數(shù)列；(4)前n項和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝.2．用定義證明等差數(shù)列時，常采用的兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，a0無定義．以題試法1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn是n的二次函數(shù)，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；(2)證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列．解：(1)設Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，則解得A＝2，B＝－4，C＝＝2n2－4n.(2)證明：∵當n＝1時，a1＝S1＝－2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6.∴an＝4n－6(n∈N*)．a(chǎn)n＋1－an＝4，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.等差數(shù)列的基本運算典題導入[例2] (2012也可寫為an＝（二）由an與Sn的關系求通項an已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．[例2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，根據(jù)下列條件分別求它們的通項an.(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.[自主解答] (1)由題可知，當n＝1時，a1＝S1＝212＋31＝5，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.當n＝1時，41＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.(2)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝23n－1.當n＝1時，231－1＝2≠a1，故an＝以題試法(2012高中數(shù)學必修5__第二章《數(shù)列》復習知識點總結與練習（一）一．數(shù)列的概念與簡單表示法知識能否憶起1．數(shù)列的定義、分類與通項公式(1)數(shù)列的定義：①數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù)．②數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．(2)數(shù)列的分類：分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關系遞增數(shù)列an＋1an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1an常數(shù)列an＋1＝an(3)數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．2．數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的首項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1(n≥2)(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那么這個公式叫數(shù)列的遞推公式．(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．2．數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應的函數(shù)解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．（一）由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式[例1] (2012天津南開中學月考)下列公式可作為數(shù)列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通項公式的是( )A．a(chǎn)n＝1 B．a(chǎn)n＝C．a(chǎn)n＝2－ D．a(chǎn)n＝[自主解答] 由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案] C由題悟法1．根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數(shù)列的通項公式來求．對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．2．根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想以題試法寫出下面數(shù)列的一個通項公式．(1)3,5,7,9，…；(2)，…；(3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，－，－，….解：(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝.(3)將數(shù)列各項改寫為，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以an＝(10n－1)．(4)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式的符號為(－1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為2－1，偶數(shù)項為2＋1，所以an＝(－1)n聊城模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，則＝( )A. B.C. D．30解析：選D 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，則a5＝＝.（三）數(shù)列的性質(zhì)[例3] 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－21n＋20.(1)n為何值時，an有最小值？并求出最小值；(2)n為何值時，該數(shù)列的前n項和最??？[自主解答] (1)因為an＝n2－21n＋20＝2－，可知對稱軸方程為n＝＝∈N*，故n＝10或n＝11時，an有最小值，其最小值為112－2111＋20＝－90.(2)設數(shù)列的前n項和最小，則有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故數(shù)列{an}從第21項開始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項和最?。深}悟法1．數(shù)列中項的最值的求法根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應關系，構造相應的函數(shù)an＝f(n)，利用求解函數(shù)最值的方法求解，但要注意自變量的取值．2．前n項和最值的求法(1)先求出數(shù)列的前n項和Sn，根據(jù)Sn的表達式求解最值；(2)根據(jù)數(shù)列的通項公式，若am≥0，且am＋10，則Sm最大；若am≤0，且am＋10，則Sm最小，這樣便可直接利用各項的符號確定最值.以題試法3．(2012重慶高考)已知{an}為等差數(shù)列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝1
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